SÉRIE ET INTÉGKALE DE FOURIER

1182. Les formules établies dans le paragraphe précédent permettent de développer en série périodique convergente toute fonction d'une variable complexe ou réelle qui est uniforme et continue dans la partie du plan comprise entre deux parallèles données, et qui a pour période une constante quelconque, pourvu que Ton connaisse toutes les valeurs de cette fonction dans Tétendue d'une période, valeurs au moyen desquelles on peut calculer avec une approximation indéfinie les intégrales qui déterminent les coefficients de la série.

Nous avons pu, par un choix convenable de variables, ramener à une forme entièrement réelle le développement d'une fonction réelle de la variable complexe z. Mais cette réduction a été obtenue en particularisant un développement de forme complexe, et elle est fondée sur l'intégration d'une fonction d'une variable complexe le long d'un contour donné. Elle ne peut donc s'appliquer qu'à une fonction ¥{p) pouvant être définie comme fonction d'une variable complexe re^', ce qui n'est généralement possible que pour les fonctions analytiques.

Toutefois, Fourier a établi que les développements réels du paragraphe précédent sont susceptibles d'une grande extension, et peuvent s'appliquer à toute fonction, analytique ou non, F(a:), périodique par rapport à la variable réelle p et définie par la seule connaissance de toutes ses valeurs dans l'étendue d'une période, pourvu que cette fonction satisfasse aux conditions suivantes :

I® Qu'elle soit susceptible d'intégration (*);

2** Qu'elle n'ait pas, dans l'étendue de la période, un nombre inGni de maxima et de minima;

3° Que, dans le cas où sa valeur varie brusquement, elle prenne

(*) ls8L définition que nous avons donnée [231 et suiv.] d'une intégrale définie ii«^ pourrait plus s'appliquer au cas, par exemple, où la fonction à intégrer serait déter> minée par la propriété de prendre une valeur constante a pour toute valeur rationnelle de la variable, et une valeur constante diflférente b pour toute valeur irrationnelle de cette même variable.

H. — Cours de Calcul injin., IV, 2

l8 LIVRE VI. — CHAP. II, % III.

une valeur moyenne entre les valeurs-limites, prises de part et d^autre de la discontinuité.

Nous allons démontrer que, pour toute fonction F(x) satisfaisant à ces conditions, la formule (4) du paragraphe précédent subsiste, c'est-à-dire que l'expression

-+- ces ( ï — ^] + COS 2(5 — x) -I- ... -h COSTO (Ç — .r)]

f 27r / sm{(Ç —

converge, pour m infini, vers la limite F(x).

1183. Commençons par chercher la limite, pour /z infini, de rintégrale

h désignant un nombre positif^-» ei/{t) une fonction de t, que

nous supposerons d'abord constamment y7/iie^ continue et non croissante lorsque t varie de o à /t, c'est-à-dire telle que l'accroissement /*(« H- c) — f(^) soit infiniment petit avec €, et de signe contraire à e s'il n'est pas nul.

Remarquons d'abord que, dans les limites assignées à la variable t, le rapport — : — conserve toujours une valeur finie, quel que soit n, et qu'il tend vers la limite n pour t = 0. Mais ce rap-

VTT

port n'est pas toujours de même signe. Soit, en efiet, — le plus

VTT

VTT . ^ TT

grand multiple de ~ qui soit contenu dans h\ partageons l'intervalle h en intervalles partiels égaux chacun à -1 à l'exception du

dernier // > qui sera<'-- Les valeurs de siunt qui corres-

pondent aux valeurs de t comprises dans les intervalles successifs entre

TT ir 27r fv — i]7r vtt v:r ,

o et -» - et — > •••? et — 9 — et ^

seront de signes alternativement positifs et négatifs; il en sera de

même des valeurs de l'expression f{t) —. — i et par suite des intégrales de cette expression correspondantes à ces mêmes intervalles. Si l'on désigne donc par uoi i/o • • • ^ Uy '^^ valeurs absolues de ces intégrales, le signe de l'une d'elles uj^ sera celui de ( — i)*.

De plus, il est aisé de voir que ces valeurs absolues Uof Uu . . . , 1/A9 • • • vont en décroissant à mesure que l'indice k augmente. Si

l'on remplace, en effet, dans iz^) t par t-\ — 9 pour ramener Uk aux mêmes limites que i/a-h on aura

Air

/ M / -/ TT \ 5111 1 /»« -t- TT I ,

7r\ sin/i^

Eq comparant cette intégrale à

kTC

on a, par hypothèse,

sin/

Donc l'élément de l'intégrale u* est moindre que l'élément correspondant de u*i, et, par suite, «a<C«*|.

Pour les deux dernières intégrales «,, et m„ à la diminution de l'élément en passant de la première à la seconde se joint encore la

diminution de l'intervalle des limites, h étant 5? -• Donc,

n "il

a fortiori, u^ <[ i/^, .

20 LIVRE VI. — CllAP. Il, § III.

1184. Étudions maintenant de plus près Tintcgrale de rang Ar,

Des deux iacteurs f{t) et—: — qui composent la fonction sous

le signe/*, et qui sont Tun et Tautre continus entre les limites de l'intégrale, le second conserve un signe constant entre ces limites. Donc, d'après la formule établie au n® 283, VI, la valeur de l'intégrale Ma est, au signe près, égale à l'intégrale du second facteur, multipliée par une valeur moyenne du premier facteur, de sorte

que, en désignant paryi une moyenne entre y ( — J ety — U

on aura

(AH-i)7r

- ir-Z/^rz: /). . / -- — de.

ti

La nouvelle intégrale dépend de k et de n, et sera du signe ( — i)*. Désignons-la par ( — lY'Sffy et cherchons vers quelle limite elle tend lorsque, k restant invariable, n croît indéfiniment. Pour

cela, remplaçons t par-*, il viendra

Jk-x

n siiin

et, comme nsin-? pour n infiniment grand, diffère de t d'une fraction infiniment petite de lui-même, l'intégrale ( — \)^Sj^ aura avec l'intégrale

fh

un rapport infiniment peu différent de l'unité, et, sin- étant

moindre que -» ce rapport sera de la forme i — e, e étant un infiniment petit positif.

dr a une valeur

finie, égale à-« On peut la partager, comme nous l'avons fait,

pour rintégrale (a), en un nombre infiniment grand d'autres intégrales, prises entre les limites respectives

O et TT, TT et 27r, ..., X- TT et ( X" -f- I ) TT, ...,

et qui seront précisément les intégrales que nous venons de dési-

' — ■* dr sera la limite

de la somme de la série infinie

— Ti -h . . . -f- ( — I J^O-/. -h . . . ,

laquelle, par suite, sera convergente et aura pour limite -•

Les termes de cette série allant toujours en décroissant, il résulte d'une proposition connue que la somme Sa des k premiers

termes sera inférieure ou supérieure à la limite -9 suivant que k

sera pair ou impair, et qu'ainsi cette somme difiiérera de - d'une quantité moindre que le terme suivant a/c

H85. Revenqns maintenant à l'intégrale (2), et cherchons à déterminer la limite vers laquelle elle converge, lorsque n croît indéfiniment.

Quand n croîtra, les intégrales partielles Uk changeront de valeurs, en même temps que leur nombre augmentera. Soit N un nombre entier, indépendant de /z, et que, pour plus de simplicité, nous supposerons impair. Le nombre v, qui croît sans cesse avec/z, finira par surpasser N, quelque grand que soit celui-ci.

Cela posé, partageons la somme uq — Ui-hU2 — ••• en deux groupes, dont l'un contienne les N 4- i premiers termes, et l'autre tous les termes suivants. Le premier groupe sera, par la formule (3),