X- ^^ sin[j: — [2 n -j- i]ip

1322. Considérons maintenant, en général, une série de la forme

.M siii(x — vip)

j: et jO étant réels, et p positif. Le rapport de deux termes consécutifs

sin ( .r — V iû ) __ e*?-»'' — <?-*?-'' i i — <r-î(>r»-/-r) sin[.r — (v-i-i)/p] "" cCv+i.^p+/> ^-(y+i)^ix — ^ 1 —ir-'U^+UpH-'-f]

a pour limite correspondante à v = co la quantité — •• qui est

moindre que l'unité. Donc la série est absolument convergente. Il en serait de même de la série

sin(x — v/p)

Il résulte de là que les deux parties de la série

sin [x — ( 2 /i -i- I ) ip]

correspondantes l'une aux multiples positifs, Tautre aux multiples

DÉVELOPPEMENT EN FRACTIONS SIMPLES. Kjy

négatifs de ip, sont toutes les deux séparément convergentes. On peut donc y remplacer les limites infiniment grandes — n — i et "h nde rindice par deux nombres infiniment grands quelconques, et écrire simplement

k -^ sin [.r — [2,n — ' ] ' p]

Si l'on groupe ensemble les termes contenant des multiples de i p égaux et de signes contraires, on aura, en remarquant que

I I sin^cosa

sin(.f — a) sin(j7-f-rt) cos2a — cos2j:

et introduisant les fonctions hyperboliques,

, V V3 . V^ Ch ( 2 /î -4- I ] p

4 sn£/ = 7 smx > -— — ^ ^ '-^ •

Al ^d Cn(4/Ï -T- 2J(3 COS2X

Si Ton pose actuellement on aura

= 'Af''^^).

vp ' 2

ce qui donne à la formule (4 ) la forme suivante :

,;5) sn« = 4^sinxi 9^-^*'^-')

' A' ^^ i — 2 7^""*'*coS2a: -t-

1323. Pour arriver au développement de cnu, commençons par obtenir celui de la fonction impaire en (a — K)=y(u), dont les infinis sont [1292]

Le résidu relatif à Tun de ces points est

,. , x/(y) |. e/[. + (2/n-M)K+(2/i-Hi)/K']

hm V — g ^ ' =zliin-;^-!^ i- '■—- — ^-p -T^r

^ 'u — u u — c — (2/w4-i)K. — (2/H-i)iK

IqS LIVIE VI. — CRAP. IV, § 111.

Or on a [1292]

cnu = '— i)'"-^'»cn(2/wK -4- 2/i/K'+ u),

cn(« — K) =/(«)=(— !)'»+« cn[(2m — i)K -H 2/î/K' -}-//]. Donc [1318]

/[£ -H (2m + i)K -♦- (a/i 4- i)/K'] = ;; - !)"-»•«/(« H- K -h /K'i — '__ i]«»+»cn (s -h /K')== [— !)"»+« -f-,

d^où Ton tire

lim (y — f )

= lin, ;,)'«*»'"'"•

iX- snt // — • — (2/»4-i)K — (2/ïH-i)/K'

^ ?^ tt— (2/n-hi)K. — (2/i-Hi)/K''

et par suite

cn(«-Is.;=^lim V (-1)» 5* -, ^^^ll!!

^ • ik ^^ ' ^ 11— (îm + i)K— (art -Mj/K.

— rt — 1 — tn — 1

En remplaçant u — R par m, on a

cni/=: — lim V (— i)" y — r ttït/"

— rt— 1 — m — 1

Enfin, en supprimant, à la gauche du rectangle qui forme le contour de Taire infiniment grande, un terme infiniment petit, correspondant à rindice — m — i, ce qui ne peut avoir d'influence sur la limite de la somme, on aura

(6) cn£/ = -ilim y (~i]"y J — 'X- r:^/-

^ ' ik ^^ ^ ^11 — 2wK— 2/1-4-1 /K

Si Ton pose, pour un instant,

on aura, comme dans le numéro précédent, la somme

que nous avons trouvée égale à

TQCOséc[a: — [in ■+- i)'p].

Donc

(7) cn«="w5!."

sin[^ — (2/1-+- 1) /p]

On a maintenant

I I cos.rsinr/

sin(j: — €i) sin{.r-t-a) cos2a — cosax

d'où, en groupant ensemble les termes correspondants à deux valeurs égales et opposées de 2 /i 4- i ,

(O Cntt =-00807 > -T-TT — ^ ^ »

^ ^ k ^irf Ch(4/^ + 2)p — C0S2.r

ou, sous une autre forme,

/ \ 4^V7 V^ l— ' (q cnK= / cos.r > — ^ r-

ces 2.1: -h ^'

1324. Soit, de même, la fonction impaire

/(i/) = dii(i/-h/R'),

dont les infinis sont [1295]

u + /K.'= 2/wK 4- (2/1 4- I )/K',

« = 2/nK 4- 2/ï/K' = f.

Le résidu relatif à Tun de ces points est

/(u) g/(g+2mK + 2/i/lC)

hmfv — c ^-i — = Iim -^ —r

^ 'u — V u — 6 — 2mK — 2«/K

aOO LIVRE VI. — CHAP. IV, § III.

Orona[129S]

dn«=:;— i)"dn(« 4-2»iK +• txniE.'), d'où

<ln(«-4-/K') = /(u) = (— i)"dii[«-f-2»iK+(2« + i)/K'].

Donc [1318]

/(» + 2mK. + 2/i«K') = (— !)»/(«) = (— i)"dn(« + /K') = (—!)» T^»

d'où

lim{v - c) l^ = til: lim -i- L

'u — V « tnc i< — c — 2mK. — 2/i«K

f^iW I

i u — imK — 1 ni K.'

et par suite

cln(i/4-/K']i^i|imy(-i)''y ^ — •

^ ' l J^^ ' ^ Il — 2A/lK — 2/mK'

En remplaçant maintenant u 4- i'K' par u, on aura

Si Ton pose, comme plus haut, la dernière somme deviendra

^U — 2/wK

Or [1216,1] la formule

tangx =2

peut s'écrire, en changeant j: en x^

COtX = > 9

d'où, en remplaçant yjU par x — (27H- i)ip, on trouve la somme en question égale à

1! col[a: — (2/14- l)'p]-

Donc

(a) dni/= - lim^ll — i)''cot[.r — (2/1 -f- 1)//)].

Les termes de cette somme ne tendent pas isolément vers zéro pour n infini ; on a, en efTet,

, . . ï -+- / tangjT Thvp cot .r — v/p = ^^-— — !-,

Umg

et, Th vp devenant égal à Tunilé pour v infini , la limite de cette expression est égale à /. Mais si, au lieu de la valeur de dnu, nous cherchons celle de i — dni^, on aura, en faisant, dans Téquation (^), a: = o,

1 = : lim 2. ( — 0" ^^^ (2/14-1) /p,

ce qui donne

I — dnw = /lî limy^ ( — i)" jcot(2rt -+- i)ip 4- cot[jc — [in 4- i)'Pli

^i^ siii(2// 4- ij'p Siu[.r — [7.n -t- l]fp\

série dont les termes tendent séparément vers zéro.

En groupant ensemble les termes d'indices égaux et opposés , on a enfin

(10) dnu = i — 4v;sin*j:> . , / h -^

^ ' ^ -^Ch(4/i4- 2)/) — cos2ar

ou, sous une autre forme,

(il) dnii = I — 813 sin'x > t—-, — r-rz-

i325. Développons enfin. la fonction tnu, dont les infinis sont