, (2WI

En faisant donc

on aura

^ 7 wT T^TT =^tanjî3.

-^« — f2w -f-i K — omK' "^

d'où, en mettant pour z sa valeur x — 2/iip,

tn tt =

tt = ^ 2 (- 0" tang(x - 2/î/û).

Si Ton groupe ensemble les termes d'indice égal et opposé, il viendra

(12) tnanr -^1 tang.r -\- 2sin2jry xr-?-^^ h

^ ' A-' I ® ^Qi/^np -{-COSIX \

ou encore

(i3; tntt = -- tangx4-4sina-^y \n — ; — iz l'

^ ' A' I ® ^ ^1-4- 27*" cos2-r -h ç*" I

1326. Â Taide des formules précédentes, il est aisé d'obtenir

des relations entre le rapport -jr- = — p des deux périodes K, iK/

des fonctions elliptiques et les constantes k et K, et par suite aussi les constantes complémentaires //, K'.

Si dans la formule (3) [1322] on fait

tt = K -4- /K , ou x= h *P,

on en tire immédiatement [1318]

. /tt . \ ""2K/ ^Cha/7

« sm ( nnipj

ou, en groupant les termes deux à deux

'^ = î(' + ^2chi;7) = î('-*-4i;T

formule qui donne la valeur du quadrant elliptique K, exprimée en fonction de |0 ou de ^.

En faisant, dans la même formule (3),

u =zK ou .r =: - »

il vient

^. sm|^--(2/i4-i)ipJ . ^

d'où Ton tire

Si l'on avait fait u = x= o dans la formule (7) du n** 1323, on aurait eu de même

(-')'* 'îv' (-0"

ik -^sin(2/i H- i)/o k ^ Sh(2/i 4- i)p

ou

20i LIVRE VI. — CHAP. IV, § IV.

I /identité des deux valeurs (i5) et (i6) montre que la fonction

qn

est une fonction paire de q.

Ainsi la connaissance de p ou de q^ c*est-à-dire du rapport -—

des périodes des fonctions elliptiques, détermine sans ambiguïté les constantes K et A*.

La réciproque ne serait pas vraie ; car, pour une même valeur de A", on peut prendre, pour former les périodes de snuau lieu de K et de ai'K', les expressions plus générales

li — (4,ti-4-l)K-4-2v/K',

ri'z 4u'R-h (2v'-f-i)/K',

et p serait remplacé par la quantité

p, V, fx', v' étant quatre entiers assujettis à la seule condition de satisfaire à Tégalité