IV

DÉVELOPPEMENT nES FONCTIONS ELLIPTIQUES E» PRODUITS INFINIS.

1327. Occupons -nous d'abord de la fonction dnu, dont les zéros sont donnés par la formule

y — (2m -4-1 )K -4- (2/1 4-1] /K', et les infinis par la formule

y = 2/?lK -f- (2/» -h l)/K',

les zéros, comme les infinis, étant chacun du premier ordre.

.'intégrale /

DEVELOPPEMENT EN PRODUITS INFINIS. 2o5

[1214] devient ici

Jr dànrj r snucnv dv

et, si Ton prend pour contour de ^ une ligne symétrique par rapport à l'origine, cette intégrale sera nulle.

Nous choisirons pour aire celle d'un rectangle ayant son centre à l'origine, et dont les côtés soient parallèles aux axes et ne passent par aucun des zéros ni des infinis de la fonction. Les zéros qu'il renfermera s'obtiendront en faisant varier m depuis — m — i jusqu'à -h m, et n depuis — n — i jusqu'à -i-n [1215]; pour les infinis, on fera varier n entre les mêmes limites et m depuis — /;/ jusqu'à -H 771.

Gela posé, la valeur de ànu prendra la forme '

dn

^. 11 M (2/«-M)K-h(2w-4-i]/K'J u — hm ^ ^^ ' -^ j

11 L'"" 2mK -h[in -|-i)/K'J

le produit supérieur s'étendant à tous les zéros, et le produit inférieur à tous les infinis contenus dans l'aire Jîl. Traitons séparément ces deux produits.

Nous avons trouvé [1216]

cosfx — Xa) ,. -r-w r '^ := lim

COS^Tq m = « — — I , /^

Si l'on pose

î3=— ^» xz=ir,u, pz=r,Kf, Xo= îjfa/ï -+- l)/K'=: (2/14- i)/«,

le numérateur de dnu deviendra

(,) lim JI

C0s[ar — (2/H- l]ip]

n = «» C0S(2/Ï -Hl)/p