LIVRE VI. — CHAP. IV, $ IV
En groupant ensemble les termes symétriques par rapport à Torîgine, on a
cos[.r — (^''-H')'.®] cosf.r -4- (21 -h i)/p] sin'jc
COS(2/H-l]/p COS^2/l -h Ij/O COS*(2/l -h l)/0
Le numérateur de dnu, que nous représenterons provisoirement par ©3(1/), aura donc pour valeur
nr sin».r 1 L' Ch«(2//-f-i)pJ
expression dont la convergence est évidente [1213].
Si Ton remplace, dans le calcul précédent, Xo par x© -y on
aura, en écrivant au bas du signe II Tindice — m au lieu de — /// — I, ce qui est permis [1323],
sini.r — .ro) -^-^ / .r
Donc, diaprés les notations ci-dessus, le dénominateur de dnn deviendra
sin[.r — (2/1 -+- i]ip]
n = » sin^2/i-i- i)/o
En groupant ensemble les termes symétriquement placés, on obtient, pour Texpression du dénominateur de dnu,
e(«)=n['+ sh'(""'+.). ]
1328. La fonction paire cnu a pour zéros simples les valeurs
u r=z (2m 4- i)K -+- 2mK',
et ses infinis sont les mêmes que ceux de dnii. En intégrant suivant le contour du même rectangle que tout à Theure, on verra
encore que Tintégrale
dcnu 21 ^ ^" '"*
est nulle. Donc en a aura une expression analogue à celle de dna, le dénominateur étant le même et le numérateur étant la limite du produit
Chaque facteur simple de ce dernier produit diffère du facteur correspondant de 03 (u) par le changement de 2/z + i en 2/2. Le produit aura donc pour expression
(3) limJI
cos ( .r — 1 nip )
n — ^ COSH fil p
OU, en groupant les facteurs deux à deux,
1329. La fonction sn</ s*annulant avec Uy nous commencerons
par chercher le développement de la fonction — ^ ®' et nous
^ ^'^ snwo
en déterminerons la limite pour ixo = o.
Les zéros de cette fonction sont donnés par la formule
y r=: — «o"+- 2/nK -h a///K',
et, par suite, le numérateur de — — sera la limite du produit
sn Uq
11 \ — Wq + 2/wK -h iniYJj
En remplaçant, dans la formule du n^ 1216, II, Xo p? .
)3(— tfo— K. + 2/i/K') = — Xo h '}.nip\
208 LIVRK VI. — CUAP. IV, § IV.
on verra que ce produit représenle, pour n constant, la fonction
CCS ( -r -4- .r^ -h - — 2 /î/p j
sin ( j: -4- .r^ — i nfp ^
sin(xo — 2/î/p1
CCS ' - ^ ^-.^1 V V . ^
^.ro-f-^~?./f/>j
Donc le numérateur de — — sera la limite, pour n infini, du
snuo ^ '
produit
-j-ii
sin^.rç — 2/i/p)
Groupons, dans ce produit, les facteurs deux à deux; on aura,.
en mettant à part le facteur correspondant à /i = o, le numérateur
, sn ( M -4- I/o ) , , , de —5^ égal a
sni/o
sin ( X -^ jr'' -«-,- T sin' [
sin.rQ
nr sin':.r + x,) I
Or il est facile de voir que, si Ton fait tendre Uo vers zéro, le rapport
sn Uq sn Uq
tendra vers la limite -• Donc le numérateur de sn(« 4- «©), lorsqu'on y fait u^ = o, devient égal à
I \ ' • TT / sin'.r \ 61(11 = -smo: I I I 4--T-r )
Le dénominateur de snu est encore la même fonction 6(u) que pour les développements précédents.
sn»
Le développement de tnu= se tirera immédiatement des
deux précédents.
cnu
1330. D'après ce que nous venons de voir, les fonctions elliptiques snu, cni/, dnu, tnu s'expriment au moyen des quatre fonc-
lions synectiques
aog
e.(«)=lsinxn(' + ^,^)
e,(«)=TTr, ?!!î!f 1
^ ' A-IL Ch'(2«+l)pJ'
qui sont, à des facteurs constants près, les quatre fonctions â de Jacobi, et l'on a ainsi les formules
2K.r sn u = sn =
TT
