COS2/J/P

e,(«) = lira JJ

cos[.r — (2« -4- i)/p] cos(2/î -H i)/o

où l'on pourra, pour abréger, omettre le mot lim. Si Ton pose, en général,

-♦•« COS I .r 4- [* ( 2/1 -h 1 — *•') 'p I

(.o) e,..(«) = «"-limJJ — '-— —^ -J,

«! cosh* (2/4-Hl — v)/p

les quatre fonctions (9),

e(tt), ei(M), eî(a), &^[u),

pourront être représentées respectivement par les notations

©i,o(")» ®i,i(")» ôo,i(")i 0o,o(w)»

de sorte que les indices simples

équivaudront aux doubles indices

(i>o)> (ïiO' («lO» (010)

aia LIVMB VI. — CHAP. IV, $ IV.

1332. Propriétés des fonctions 0. — Considérons la forme générale

l^^A .^ cos[x + ^^-(a«-4-«-v),>]

,i ces

Si Ton fait varier les indices entiers /:x, v, il est aisé de voir que les valeurs obtenues seront toujours les mêmes que les quatre valeurs précédentes, qui correspondent à fx et v égaux à o ou à i.

En eflet, si Ton change /ii en /x + a, chacun des arcs, au numérateur et au dénominateur, augmente de ir, et, par suite, le quotient

ces

cos

n*aura pas varié. Donc

Si Ton remplace maintenant v par v + a, Tare de chaque cosinus varie de ^ipy ce qui revient à changer n en n — i. Le dernier facteur, à la limite supérieure, est ainsi remplacé par

cos

I JT -h ^a - — [in — I — ^ ) ' I» I

et le dernier, à la limite inférieure, savoir

cos

Lr 4- ^ - -h ( 2 « -h 3 -h V ) /p I

cos ^ - -f- ( 2/1 -f- 3 -h v) /p J

est remplacé par

cos X-t-fA h(2/ï-h 5-hv)/pj

cos hi - -h ( 2 « 4- 5 -h V ) /p I

PROPRIÉTÉS DES FONCTIONS 6. 2l3

Donc le produit TT se trouvera multiplié par

— rt— 1

cosl jc-h ft-H- (2w -h 5 -h v)/|3 I cosl fi (a/ï 4- I — v)'p

cosi X 4- fi (a/i -h I — v)/p I cosl it — h (2/î -h5-*- v)/p I

expression qui tend, pour n infini, vers la limite

Or, par le changement de v en v -j- 2, le facteur e*'*, en avant du signe n, sera en même temps multiplié par e^^. Donc le produit total n'aura pas changé de valeur, et Ton aura ainsi

On pourra donc, sans diminuer la généralité de la fonction 6^,^, la ramener toujours aux. quatre formes considérées dans les nu* méros précédents.

1333. On voit immédiatement que les trois fonctions 0|,o> 3o,i, 60,0 sont paires, tandis que la fonction 0|,4 est impaire. On aura donc, en général,

Les facteurs du produit TT étant en nombre pair, on ne change

pas le signe du produit lorsqu'on augmente x de tt, ou u de 2K, ce qui ne fait que multiplier chaque facteur par — i . Le facteur e se trouve multiplié par e*'* = ( — 1)\ Donc

Augmentons maintenant u de 21K', ou x de 2ip; le produit TT

sera multiplié par un facteur de la forme

cos[X •+-(/! -4- 3)ip] cos(X — nip)

2l4 LIVRE VI. ^ CHAP. IV, § IV.

dont la limite, pour n infini, est e""^'^^''"'*^ Le facteur e*"" est multiplié par e-'*f . Donc

On a, pourfi=i, e-"^ = — e"'^', etpour|x=:o, <r-*'^=-l-e~*". Donc

(i3) e^..(«-h2iK') = (-i)''<r-«''-^-*ee^..(ii) = (-i)s' e^,v(«)-

En appliquant cette formule à chacune des quatre fonctions 6, on aura les égalités

e(i/-+-a/K^) __ e^(tf-f-a/K') ___ e<(K-h/K^) ea(«-h/K')

Cela montre que les fonctions 6 ne sont pas périodiques relativement à aïK'; quand on augmente de cette constante Targument u, ces fonctions se reproduisent à un facteur exponentiel près.

1334. Si dans 0^ ,, on remplace u par « -+- K, ou x par x-\ — i il viendra

./ «X ■^" cos x + fu + i) ^ — (a/i-hi— v)/p

-«-1 ces p- (2/ï-hi — v)p

En comparant cette valeur à celle de 0n+i,v> on voit qu'elle n'en

diffère que par le facteur constante " et par le dénominateur,

qui est pareillement constant. Donc le quotient -^ esl

constant, ce qui donne les deux relations

^^ , , — - z= const., -=-^ ^ — ' = consl.

Pour obtenir les valeurs de ces constantes, nous remarquerons d'abord que, les deux fonctions et ©j prenant la valeur i pour

PROPRIETES DES FONCTIONS 6. 2lS

Il = o, le rapport -^-^ doit se réduire, pour ii = o, à 03(K)y

et, pour a==— 7R, à — p-^* De plus, à cause de

on en conclut

Enfin

sn K. = — -- — =: I ,

e{tC)

Donc

et par sui te

^ ' fc) ^ // j — 0, ^ Iv j ^

ou encore

BjR— //] hJK — //) ^77

e(K — //) 0,fK — wl I

Ainsi, quand on remplace u par son complément K — m, ou a?

par X, les fonctions et ©3, ©i et ©a s'échangent entre elles,

à un facteur constant près.

1335. Si Ton remplace maintenant u par u-f-iK', ou x par x-hipi on a

^ ' Xi cos^'2// -h I j/0

-n-1 COS ^ —• (?./»-+- l)/

ai6 LIVKB VI. — GHÂP. IV, § IV.

Donc les rapports

sont constants.

En faisant tt = Oy puis tt = — iK', on trouve que le premier de ces rapports est égal à

et le second à

L'égalité

= tn/K' = i

donne

D'ailleurs, si dans l'égalité [1330] on fait u = — iK', il viendra [1318]

De là résultent les égalités

(i8) e,(,K') = e'V^, e.(/R') = îl, e,(/K') = :îf4,

d'où l'on conclut les suivantes :

^ -^^ /e,(ii) e.(u)

En remplaçant u par u — t'K' dans les formules (i4} du n* 1333 et dans celles que nous venons d'écrire, nous obtiendrons les relations

( e,(»i + >K') -e,(ii-tK') ^ ,,, \ e.(«) - ie,(«-iK') -^*-*

PK0PKIÉTÉ8 DBS PONCTIONS 6. 317

On tire de là

Ainsi, quand on ajoute iK! à Targument u, les fonctions O et 6|, ainsi que les fonctions 02 et Q^, s'échangent entre elles, à un facteur exponentiel près.

De ces diverses relations il résulte que les quatre fonctions peuvent s'exprimer au moyen d'une seule d'entre elles, de ©s par exemple. On a, en effet,

(22) \e,{u) ==--!=: e-''''-he,{K -h îK'^u),

e,(«) = -L e-''"^e,(/K'- tt).

y/A 1336. On peut déduire de là les valeurs du module k et du

quadrant K en fonction de p ou du rapport . des deux périodes

des fonctions elliptiques.

En faisant u=siK.' ou x=zip dans la valeur (5) de 0s (u) [1330], il vient

ou, en vertu de l'égalité Ch*(T4- Sh*p = Gh((7 4-|9)Ch((r — p), »»l'l^ ) -11 ch'(9./.-t-i)p -11 (, + 5'«+')« '

ou enfin, enjntroduisant au numérateur le facteur i -h V^"***'» égal à l'unité pour n infini, et faisant sortir du signe II le facteur

ai8 LIVRE VI. — CHAP. IV, § IV.

Donc, en vertu des formules du numéro précédent, on a

(24) v'A = '"''e»('K') = U.e,;/K') = a^yJjU;|;-J— j .

La formule (i5) du n^ 1334 donne immédiatement

Elle donne encore Téquation

<^«) ,i,-.ci=m(;-î|:)'

Par la combinaison de ces formules, on peut en obtenir un ^rand nombre d^autrcs, dont quelques-unes nous seront utiles plus tard.

Si nous posons, pour abréger,

( M=J|(i + ^»«), M' = JJ(n.g««-*-»),

on aura d^abord

MM'=JJ (. + ?"), NN' = J|'(,-y"), d'où

d'où résulte la relation

(28) MM'N' = i.

Des relations (24)? (^5), (26), mises sous la forme

PROP1IIÉTÉ8 DES FONCTIONS B. aig

on tire