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1337. Nous avons obtenu, dans le numéro précédent, les développements des fonctions O en produits simples, en commençant par grouper ensemble les facteurs correspondants aux points critiques situés sur une même ligne horizontale. En commençant par grouper les facteurs dans un autre ordre, on obtiendra d'autres fonctions 0', jouant les mêmes rôles que les fonctions 0, mais de forme différente.

Considérons de nouveau le double produit [1327]

et posons cette fois 15'=— 7> x'=:n!u, p'z=n'K, .r^ =r ï;'[2/?i -HJK = (2/71 -f- i)p'.

La fonction 03 (u) prendra la forme

'^ ^ Il COs(2/W-f-l)f>' 11 Cll^2W-+-j)p'

l^r sin'/V "l TTr Sh«x^ 1

~" IIL cos*(2/»-M)/p'J~ll L Ch*(2m-t-iJp'J*

En comparant cette valeur avec celle que nous avons précédemment obtenue pour le même double produit, on voit que l'exprès-

220 LIVEB VI. ^ CBAP. IV, { !▼•

sion de ©',(«) est ce que devient celle de 0s(u) lorsqu'on y remplace X et p par ia/ et p'.

Si Ton change maintenant u en u + K, ou j/ en a/+ p', en faisant

x' — x'^ = iî'(tt — 2 wK ), a:'ç = 2«p',

il viendra

e' tf =11 ^- r-y-^ = COS/X' TT I , — )

^ ' XJ. cos2/nfp ■■■■■• \ cos' 2 w/py

=«'''n(--ch.'^)-

Donc 6'(u) est égal à la valeur de 6i(u),dans laquelle on remplacerait X et p par ix' et p^

Le double produit peut s'écrire sous la forme

■^^ cos i-H--— (2//24-i)?r "*■'". r / , wi -pr I / 2 ' w I j-|- sini[x — (i/n-fijpj

"il~"c^^-(2.,4-.)^j" """"ii -n(2m^.),y

— rrr sin«/.i/ l^rrr Sh'j' 1

"" llL' siii«(2/n-*-i)/7J"~llL* Sh»(2/ii-+-i)p'J'

Donc &^{u) est égal à ce que devient 6(u) par le changement de X, p en ixfy p'.

Si Ton considère enfin le numérateur du développement de

^—^ ^ > en y introduisant a/ et p', il vient

snico

fn»n

tf -4- «0 — amK — a/i/K' i/ft — amK — 7.ni¥J

-r4-^ — 2/iiÏt — 211- II 19.

ni$n "^o