LIVRE VI. — CHAP. II, § III
et le second, donl le nombre des termes croîtra avec n, sera
( 5 ) fs-hi^y-hi — /s + t '^.N + 1
Il est facile d'obtenir la limite de la somme (4) pour n inGni. En effet, les quantitésyj,, fi, . . . , y5« , étant respectivement comprises entre les limites
convergeront chacune versy(o). D'autre part, les quantités 5©» Si y ..., s^ convergeront respectivement vers a©, C|, .. , a^^. Donc la somme (4) aura pour limite
On peut donc la représenter par
o étant un infiniment petit positif.
Considérons actuellement la somme (5), composée d'un nombre indéfiniment croissant de termes. Ces termes étant alternativement positifs et négatifs, et chacun d'eux étant numériquement moindre que le précédent, la somme sera, quel que soit le nombre des termes, positive et moindre que son premier terme. Elle sera donc moindre que la limite de
laquelle est moindre que celle de/* ( o ) a^^ + ^ augmenté d'un infiniment petit positif e. Donc l'intégrale (2), somme des deux groupes (4) et (5), finira par différer dey(o),2,^ d'une quantité numériquement moindre que î -+-/"( o ) a^ ^. j-j- e, J et e étant des infiniment
petits. D'autre part, 2^ diffère de - d'une quantité moindre que
o'.N-hi- Donc l'intégrale (2) finira par différer de -f{o) d'une quantité moindre que
SÉRIE DE POURIER. 23
Or, la série Oq — <7i -+- ^2 — • • • étant convergente [1184], il en résulte que son terme général doit être infiniment petit pour un indice infiniment grand. Donc on peut choisir N assez grand pour que (Jji^i soit moindre que toute grandeur donnée. Donc l'intégrale (2 ) finira toujours, pour n croissant indéfiniment, par dlfl<ércr
aussi peu que Ton voudra de -f[o). On aura donc (G) lim Ç'f[t)^}^dt=~f[o).
1186. La démonstration s'appliquant aussi au cas oix J i^t) se réduit à une constante c, on aura
, , ,. / sin/îf , Tz
1 ] lira / c —. — at == - c.
Si maintenant la fonction décroissante y (t), au lieu de rester constamment positive depuis t = o jusqu'à t = /i, devenait négative dans une partie de l'intervalle ou dans l'intervalle tout entier, on pourrait choisir une constante c assez grande pour que la fonction c+f[t) ne cessât pas d'être positive, et par conséquent pour que le théorème lui fût applicable. On aurait alors
n = oo t/o Mil* ^
En retranchant de cette équation l'équation (7), on retrouverait encore la formule (6).
Supposons enfin que la fonction f{t) soit croissante depuis t = jusqu'à t= h. Alors — f{^) sera une fonction décroissante, et, par suite,
Jr^r rt xn sin/ï/ , r^ j,, .sin/î/ .
[ — / 0] -^ — dt=— I fit)—. — di
convergera vers la limite f{^)} à' oh l'on conclut que la for-
mule (6) est encore vraie pour le cas dey(f) croissante.
Donc le théorème exprimé par l'équation (6) est vrai pour toute fonction y* (i) assujettie à la condition de rester continue pour
toute valeur de f, depuis ^ = o jusqu'à f = A ^ -? et, de plus, de
24 LIVHK VI. — CHAP. Il, § III.
resler, dans cet intervalle, toujours décroissante ou toujours croissante, à moins qu^elle ne conserve une valeur constante dans une partie ou dans la totalité de T intervalle.
1187. Soit maintenant g un nombre compris entre o et /i, et supposons que la fonction soit donnée seulement entre t=:g eit = h, et qu'elle remplisse, dans cet intervalle, les mêmes conditions qu'elle devait remplir tout à Theure entre o et /t. L'intéf^ale
8j I fit) - — fit
Jg sin'
convergera, pour n infiniment grand, vers une limite que l'on pourrait trouver directement en suivant la môme marche que ci-dessus. Mais il est plus simple de ramener ce cas au précédent. La fonctiony(/) n'étant donnée qu'entremet /i, rien n'empêche de compléter la série de ses valeurs depuis f = o jusqu'à t = g'> en supposant que, dans cet intervalle, la fonction varie dans le même sens qu'entre g et /i, ou, plus simplement, qu'elle reste constamment égale à sa valeur^(g') correspondante kt = g. Alors le théorème (6) sera applicable à chacune des deux intégrales
J^S ^, .sinw/ , r'* , ,siii/// ,
qui convergeront chacune vers cette valeur -y(g^). Donc Tinté-
grale (8), qui est la différence des deux précédentes, convergera, pour n infini, vers la valeur zéro.
Donc, si g et h sont deux nombres tels que l'on ait
et siy(^) est une fonction continue et variant toujours dans le même sens depuis t:= g jusqu'à f = A (à moins qu'elle ne reste constante dans une portion quelconque de cet intervalle), l'intégrale (8) tendra, pour n croissant à l'infini, vers la limite zéro, si g n'est pas
nul; mais pour g=: o elle tendra vers la limite -f[o).
Si la fonction y*(^) présentait des solutions de continuité pour les valeurs t = gy t = hy de sorte que, e étant un infiniment petit positif, y (g" — e) Qlffji — t) n'eussent pas les mêmes limites respectives que fig-h ^) et y (A -h 8 ), il faudrait remplacer, dans ce qui précède, y(o) par la| limite def{-+' e), que nous désignerons, pour abréger, pary(-f- o). Il n'y aurait, du reste, rien à changer, pourvu que les valeurs de/^t) correspondantes aux discontinuités ne fussent pas infinies.
1188. Nous avons supposé jusqu'ici que la fonction f[t) ne présente, dans l'intervalle de t= g k t= h, aucune valeur singulière, c'est-à-dire qu'il n'y ait aucune valeur de t pour laquelle elle devienne discontinue ou qui corresponde à un maximum ou à un minimum de cette fonction.
Supposons maintenant que, entre g et h, il existe des valeurs f| , ^2, . • . , ^)i qui correspondent à des discontinuités ou à des changements de sens de l'accroissement de f{t)* Nous partagerons
l'intégrale f en intégrales partielles, prises chacune entre deux
Jo
valeurs singulières consécutives :
La première de ces intégrales a pour limite zéro ou -^(-f- o),sui-
vant que g sera ou non différent de zéro. Toutes les autres seront nulles, d'après le numéro précédent. Donc, enfin, le théorème démontré ci-dessus subsistera, quelle que soit la marche de la fonction y(«), pourvu que les valeurs singulières y soient en nombre fini et qu*ainsi la fonction soit intégrable.
1189. Nous pouvons maintenant passer à la détermination do la limite, pour m infini, de l'intégrale
^ 2^Jo sinJlS — .r)
En posant
- [Ç — .r) = r, im -H i = '/,
'J(6 LiriE Tl. — CHAr. Il, I lit.
l'intégrale deviendra
„ sinitf .
F jT-r-a/ -: — di^
sinr
in légale de même forme que celle que nous venons d^étudier, à rela prrs que les limites sont dilTérentes. Nous allons, par décomposition, la ramener à des intégrales dont les limites soient comprises dans l'intervalle de o à -•
i" Supposons d'abord o<^x<<îî. On décomposera l'intégrale
en
(a). On a d'abord, en vertu de la formule (6), pour la première intégrale,
lim
I r ^. , sm/7/ , I ^ ,
- ; F X -+- 2/ - — tlt — -¥ X -+- o ,
Pour X = o, cette valeur se réduit à
-Fi-ho).
(,j). En changeant t en tt — t, la deuxième intégrale /
devient , pour x > o,
Iim - / F(x4-ï7r — 2/ -: — dt=o*
SERIE DE FOURIBR. 27
pour x=.Oj cette valeur se change en
(y). Pour la troisième intégrale / , si Ton change t en — /, il
vient
hm-/ F(x-2/ -j— rf/ = -Fx-o ,
valeur qui, pour x = o, doit être remplacée par zéro Donc, pour a: > o, l'intégrale aura pour valeur
F(jr-l-o) H-F(.r— o
pour a: = o, elle deviendra
F(+o) -hF 2
2* Si Ton a 7r<^ j:<^27r, en remplaçant x par 27: — j/, t par /, l'intégrale deviendra, pour o <^ j/<]7r.
if
^ sin/î/
et, en décomposant cette intégrale comme dans le cas précédent, on trouvera, pour les trois parties :
(a). jF(27r — a/ — o) = -jF(x — o) pour j:<^ 211, et^ F(2 7r — o) pour a:= 27r;
((3). La valeur zéro pour »r <^ 27r, et jF(-^- o) pour x = 2ît ;
(7). \^{x -f- o) pour X <!^ 271, et zéro pour o: = 2 7r.
Donc, pour j:<[ 211, l'intégrale a encore pour valeur
ïK LIVBB Tl. ~ CUAP. Il, { III.
et, pourx == ar,
F -uo —F'irr — o'
cos.r
3^ Pour X de grandeur quelconque, on ramènera sa valeur entre les limites o et 2r par Taddition ou la soustraction d^un multiple convenable de 2ir, ce qui n*altère ni la fonction F^x), qui est supposée périodique et de période 2 77, ni la série limite de Tin légrale.
1190. Donc, quelque valeur que Ton donne à x, la série trigonoméirique
— f F t'^^-y f F î crs/i ;-.rV/;
F 5' C(>S;<^/; -r- Cos?..r I F ; Vos2Ï^ 4- . . . I o «. o J
I H — I sinjT I F^; sin;r/; -i- sin2x I F^?) sina?^ -+- . . . I
aura pour valeur F(x) si cette fonction est continue dans le voisinage de la valeur x, et- [F(x — o) -|-F(x -f-o)] si x est une
valeur de discontinuité de F(x). Il en sera encore de même pour X = o, puisque l'on peut, en vertu de la périodicité, remplacer F(27r — o) par F( — o).
Si donc on donne à F(x), entre x= o et x = 27r, une suite arbitraire de valeurs, représentable par un arc de courbe de forme quelconque, pourvu qu'il soit composé de parties continues et que les discontinuités, ainsi que les maxima et minima, y soient en nombre fini, la série (9) représentera l'ordonnée de cet arc entre les abscisses o et 27r, et, en dehors de ces limites, elle représentera une suite, indéfinie dans les deux sens, d'arcs identiques au premier. Seulement, pour chaque point de rupture de la courbe, la série représentera la moyenne arithmétique des deux ordonnées correspondantes à ce point.
La série (9) étant de même forme que la série (4) du n** 1175, on pourra, par un changement de variable combiné avec un changement d'origine, lui faire subir les transformations ree//e5 que nous avons exposées dans le paragraphe précédent, et y remplacer ainsi la période air par une période réelle arbitraire /, puis les limites o et / par d'autres limites quelconques — /o et / — /q.
1191. Donnons quelques exemples d'applications de la série de Fourier.
I. Soit F(x) = cosfxor. Cette fonction étant paire, le développement ne contiendra que des cosinus [1174]. Si l'on suppose la fonction donnée entre x = — tt et x = -|- tt, le coefficient «„ du développement [1175] aura pour valeur [449]
u,,=2 - I COSaf COS/îsr/H m - / COSa? COS//S^5
?. tA sin uTT rc)s/7 7r , N 3ia sinuR'
r=: — î : zrz ' — I ]" — ^ ■ î
TT a* /l* ' ' TT a* W*
avec
On aura donc
I Sm U77
- «0 = —^ 2 lin
sin U7T / 2 tx*
ux = ^ I — ^ —
COSax = = — I I COS^ H 1 7 COS2.r
d'où, en faisant x = tt,
sin un ( 2 u} 2 fx*
eosuTT =
un ( 2 tx* 2 ur \
ou, en posant fxTr = «t,
coti/= -lu i ; -i ; 7-1 + ...)»
développement convergent quel que soit u.
En intégrant les deux membres de cette égalité, passant ensuite des logarithmes aux nombres, puis déterminant la constante arbitraire par la condition
,. siiiK
lini r=: I ,
3o LIVRE VI. — GHAP. II, § III.
on a le développement de sînu en produit infîni.
Si l'on y fait ii = -» la formule deviendra •^ 2
II. Soit F{x) = x^ la fonction étant donnée entre les limites — TT et -f-TT. Cette fonction étant impaire, le développement ne devra contenir que des sinus, et le coefficient général sera
On aura donc
