RELATIONS ENTRE LES B ET LES S

Cette fonction est paire. De plus, elle ne devient ni nulle ni infinie pour aucune valeur finie de u, et se réduite l'unité pour u =o. En vertu des formules des n*** 1333 et 1338, on a

d'où Ton tire

^ ( D,Jog'J*(«-+-2K) =^2m' -\-DJo^i^{u),

^^^ \ Djog^U + 2/R'] -- 2ifs -h D,,log'j*(M),

et par suite

(4i) Dîlog^^(« + 2K)=zDillog-}(i*-*-2/K') = DilogvKi/).

La fonction ^{u) étant uniforme et continue pour toute valeur (le «, il en sera de même des deux fonctions

DJog.H«) = -,

Djlog ']/(«)

[^("il

De plus, les égalités (4i) expriment que la fonction DJlog^(i£) est doublement périodique, et, par conséquent, elle est encore finie pour u = QO .Donc, d'après ce que nous avons démontré au n® 1137, elle se réduit à une constante.

On doit donc avoir, en intégrant,

a et b étant deux constantes. Mais la fonction Dulog^(u), étant la dérivée logarithhiique d'une fonction paire, est elle-même une fonction impaire [288], et, par suite, la constante b est nulle.

On déterminera maintenant a en observant que, d'après les équations (4<>)) aux accroissements 2K, niK! de u correspondent les accroissements 27/, ^irt de D„log^(u), accroissements qui, en vertu de l'équation

doivent être respectivement égaux à 2aK, 2iaK!. De l'une ou de

aa4 LivaB vi. — chap. iv, J iv,

Tautre de ces conditions on tire

Donc

d\og'^[u) = ^-^udu.

d'où, en intégrant et remarquant que ^(o) = i, Par conséquent.

1340. Il existe une relation importante entre les fonctions correspondantes aux modules complémentaires A: et A'. Si l'on change u en iuy A en A^, et par suite

ïî, p, X en 13', p\ ix\ la fonction 0^,,(a, A) deviendra [1332]

■*•" cos I IX '\- \i.*- (2 /ï -f- 1 — v) /o' I

„i cos

|pZ(a„4.i,)/p'|

T.tO

Donc

formule qui permet de ramener les O d'argument imaginaire aux 6 d'argument réel, et vice versa.

DÉVELOPPEMENT DES & EN SÉRIES TRIGONOMÉTRIQfJES. 225