CM

elle est uniforme et continue pour toute valeur de cette variable f , car elle reste finie pour toutes les valeurs de t autres que celles qui rendent t infini, et elle admet, comme t, la période 4K.. Donc, en vertu du théorème de Laurent [1148], cette fonction est développable, pour toutes les valeurs de f , depuis zéro jusqu'à l'infini, en une série infinie dans les deux sens, et procédant suivant les puissances entières, positives et négatives de t.

Nous avons vu [1333] que, lorsqu'on remplace u par w -H aK, t se changeant en — f, &^,,[u) est multiplié par ( — i)% de sorte que l'on a

Donc, si V = o, 0^ <, sera une fonction paire de t, et son développement ne contiendra que des puissances paires de cette variable; si V = ï , 0j^ 1 sera une fonction impaire, et son développement ne contiendra que des puissances impaires de t, La série sera donc généralement de la forme

La fonction Q^^^[u) étant réelle pour les valeurs réelles de x et de q, les coefficients Um et a^^__^y correspondants à deux puissances égales et opposées de e'-^, devront être égaux entre eux en valeur absolue.

Connaissant maintenant la forme du développement, il ne reste plus qu'à déterminer les coefficients, ce que nous pourrons faire par la méthode des coefficients indéterminés.

1342. Nous allons commencer par développer la fonction &o^o{u]

B — Cours de Cale, i/ifinic, IV. l5

226 LlVftB VI. — CHAP. IV, $ V.

OU 69(1/), et de son développement nous tirerons aisément les développements des trois autres, en nous appuyant sur les formules des n- 1334 et 1333.

Diaprés ce que nous venons d'établir, le dé\eloppement sera de la forme

— « Si Ton change « en ix -h 21K', on aura [1333] *

ou, en introduisant q = e"-?,

En égalant de part et d'autre les coefficients des mêmes puissances de e'-', on aura, en général,

d'où l'on tire successivement

Donc

e3(a)z=aoy7""e*'"'*=aol i -+- ti 27''*'cosa«x J. On a ensuite [1334, (16)], en changeant u en u-+- K, x

en X 4- - »

e(«) = -^«al" +K) = -^yn i)«î-'V'-

DÉVELOPPEMENT DBS d EN SERIES TRIGONOHÉTRIQUESl 22/

Puis, par les formules (19) du n** 1335,

-t-ac

S/A yjk ^

= fl y/"""') e(""+')-= — "y/"^;) cosiam 4- l).r. Enfin les formules (17) du n° 1334 donnent

= 2^^ 2;(- i)"'5^'"*ï^'sin(2//i + 1)0:.

1343. Il nous reste à déterminer le facteur constant ao, commun aux quatre fonctions 0.

L'équation (29) du n** 1336 nous donne

Désignons par P(y) la valeur commune de ces deux expressions.

En comparant les valeurs [1331, (8)] de &[u) et de 0|(u)

avec celles que nous venons de trouver, on aura les deux égalités

/ - TT(i — 2 7'«-^*a)S2J? -h 7*«-*-«)

sinxTT(i — 2^*'*cos2ar-+-7*")

Les deux membres de chacune de ces deux égalités étant identiques, quelles que soient les valeurs de q et de x, elles subsiste-