LIVRB VI. — CHAP. IV, § V

ront lorsqu'on y remplacera q par q^. En les multipliant membre à membre après cette substitution ^ et remarquant qu'alors le produit des premiers membres reproduit le premier membre de la seconde équation (i), il viendra

En égalant dans les deux membres les coefficients de sin x, on a

Si Ton fait x = - dans la seconde égalité (i), elle donne

Donc

^=iii--)=nf^:;;.

et, par suite,

La fonction P(<y) TT(ï — V"") ^^ varie donc pas lorsqu'on y rem-

place q par r/^, et par suite aussi par y*, ^*, . . . , et finalement

par y*= o, puisque q est <^ i . Donc on aura dans ce cas

quantité égale à l'unité, en vertu de la première équation (i ).

FONCTIONS d*. 229

On aura, par conséquent^

On a d'ailleurs [1336, (3o)], d'après les notations de ce numéro,

1344. Si nous posons maintenant, d'après les notations de

Jacobi (* ),

S-i(.r) =2 2(— 0'"^^""^ sin(2/?i-hi)x,

S-,(x) =r 2'V7^ *^ cos(2m -f- i)j^,

les produits auront pour expressions

En remplaçant dans ces formules les produits 6 par leurs valeurs (8) du n<» 1330, et les constantes m, k, V par leurs valeurs du n^ 1336^ on aura, pour les expressions des fonctions S- sous

(*) Dans les Fundamenta, Jacobi représente les fonctions 3-(j:), d't(<a:) par ^(u) H(u), d'où Ton déduit

ô.(x) = H(K-.«), ^,(x) = 0(K-ii).

'l'io