LIVBE VI. — CHAP. IV, § V
Si l'on pose, comme au n° 1337,
(12) \ et de plus
U== tf*^^=: e~=é*~^=ie^'=q'^' = q^, la relation établie au n"* 1338 donnera les formules
^,[ijr)=yVB' (.r\p'), ^3(|-x)=:7U53(y,/).
En changeant dans ces formules y en y' et y en -> et développant le résultat de cette substitution au moyen des formules (a), on en tirera de nouvelles expressions des fonctions S^, qui sont avantageuses pour le calcul numérique, lorsque A' et q sont trèsvoisins de Tunité, et par suite (/ très petit :
3,(«) = J ( I + 2 2]7'«'Cha».r'Y On en tire, pour remplacer les formules (6),
(.5) L^tolz^vriH-a^l-')»?'"'!.
1347. Si Ton remplace, dans les fonctions S-, la variable réelle X par une variable complexe x -j- iy-y en s'appuyant sur les formules
cos (a -h / j3 ) 4- cos (a — ip]
= cosaCh|3, etc.,
et posant
Si
{X,ij-] =z 2^[- l)«7 *^ Sill(2/I -+- l)xCh(2/2 -f- l)7,
oc
2 > 7^'*'*'''' cos(2/ï -+-i).rCh(2/ï -hi)j,
(x, /j) :=: 14-2^ 7^'cOS2/iJ:Ch2//Xa
// (x, /j) =z — 2 V(— i)"y'*'sin2/iJ:Sh2/îj
/ll[x,if)= 'i^{^i)ng["'*'i. c0s(2/J-hl)xSh(2/ï-4-l)j,
/ti{jryir) — 2 y 7^""^*^ sin(2/i -f- i).rSh(2/i -h i) j,
^h[^fh')=- 2^ <7"'siQ2/?xSh2wj,
on aura, pour Tindice jix = o, i, 2, 3,
{17) 5j,(arziz/»=:§'^(x,i»di//v(x, /».
Dans le cas où le module serait très-voisin de l'unité, on transformerait B-^{X'\-ij) en B-^[i{j' — *-^)]- En ayant alors égard aux formules (i3), on ramènerait les développements à ceux des fonctions ^^{y — ix^9 q'). Par exemple, en posant, d'après les formules (12),
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on aurait
et de même pour les autres.
1348. Des expressions (4) ^u n^ 1344 il est facile de déduire les développements en séries des logarithmes des fonctions B-, On a d'abord
log;, -<,'«) = - y %'-.
En sommant les deux membres de Tégalité par rapport à Tindice /i, depuis n = i jusqu'à /i = oo , il vient
et par suite
L'expression i — 2^" cos2X + ^^'' se décomposant en on a, pour les logarithmes des deux facteurs,
log ( I — 7« e*=«'^) = ~ y - ^"' ^*''''
d'oii
log ( I — ?. ly* cos 2 .r -h r/'" ) = — 2 \^ - 7"* cos 2 v.r.
En sommant par rapport à n, selon que n sera de la forme 2/n — i ou de la forme 27/2, on aura
logTT (i — 27''cos2.r -{-q^^]=z — ^5! " — î^ cos2v.r,
^>rf y I — a*
I /you = — 2 > r COS2yx
Si Ton avait eu à sommer les logarithmes des expressions
