I -h 2 7" cos 2 j; -h

I (—1]* on aurait eu le même résultat, au changement près de - en •

D'après cela, on aura, pour les développements des logarithmes des quatre fonctions 3-, en posant, pour abréger,

les expressions suivantes.

log^ (r) =- Q - 9.2] ^ ilT^ ^^^^"

logS-j ( .r) = Q -4- log \2q^ sin .r/ — 2 > — ^- coS2/l.r,

(1 \ ^ ( I y* gin iq^ cos.r) — ^-X j^ COS2/t:r,

ou, sous une autre forme,

, A / > \? 7'* + cos2/i.r

, , , / 4- \ ^n<7"[i-l-( — i]''cos2/i.rl

q" -\-l— lV'cos2/fx

Pour les valeurs complexes de l'argument, la formule (17) du

a36 LIVRB VI. — CHAP. IV, 5 V.

numéro précédent donne la relation

21) — loc ^ ; ^ =arclanff --> ^•

1349. Les dérivées logarithmiques des fonctions â- jouent un rôle important dans l'Analyse. Jacobi a désigné, à un facteur constant près, celle de ^(x) par le symbole

2(£/) = D,Jcge;«)=:i;D^log5(.r).

Cette fonction jouit des propriétés exprimées parles égalités

Z(o) = Z(K) = o, Z[—u) = ^Z[u), Z(«4-2K) = Z(tt).

On trouve immédiatement, par la différentiation des formules (a), D^logS {^) = - -^-r, y (-i)«/i7'''sin2/ix.

I>xlog^3(-^; = — ^pj-^ ^nq^'àin^inji:,

OU, par la différentiation des formules (20), / T^ 1 « / > V^ sin2/f.r

^ 1 rv / \ V » sin2//x

I>xIoga,(,r)^COt.r-+-22^7« ^j^^

^1 *v / \ V^ / \ .. » Sii^ 2 /î .r

D* log», (.r ) = - liing.r + a 2^ ( , )"ç'« j ,

CD

^1 ^ / X ^n / X sin2/i,r

Djoga,(x) = 22(-.)''-gî^^-

On voit que la troisième et la quatrième des formules (sS) se déduisent de la seconde et de la première par le changement de x

en j:H — •

En prenant pour les B- leurs valeurs déterminées par les formules (3) du n® 1344, combinées avec les formules (35) du n° 1337, et opérant comme on vient de le faire, on trouverait les formules suivantes, avantageuses dans le cas de q voisin de l'unité :

A Th-r'-î^]

D^log^ [:c) = -^ -^yATh,v'-:ty^{-^l)-q'-^

Dans le cas où les fonctions d- ont un argument imaginaire ixy on pourra obtenir leurs dérivées logarithmiques en changeant x en ix dans les formules (22), ce qui donne, par exemple,

(25) D,los5(/^)=-]-^2(--0''''7'Sh27i.r.

On peut aussi partir des formules (3) du n° 1344, d'après lesquelles

log5(/x) = const 4- V log(i — 2<7"'+*C1i2j: + ç*""*-*), etc., ^

et d'où l'on tire, en diflférentiant,

"^ ^ ^ f -^ Ch[4/H-2)p — Cli2.r

Dx log^t('-^) = — Thx 4- 2Sh2a:y -^. — —

Djc log^a ( ^''^) = 2 Sh 2X > ^,, ■ . ^ 7;r — '

23)< LIVBE VI. — CHAF. IV, § V.

1350. Nous avons vu [il61] que deux fonctions uniformes et continues dans toute Tétendue du plan et ayant les mêmes zéros et les mêmes inGnis, chacune avec le même ordre de multiplicité, sont égales entre elles, à un facteur constant près.

La fonction de x

est doublement périodique, ses périodes étant it et 21p. Elle admet pour infinis doubles les zéros doubles de [^^.(x)]^, et par suite les zéros du carré de celle des fonctions

sn - » ? >

Jj X X or

sn ~ en - an is 1; 1;

qui a pour numérateur B'^[a:).

Par exemple, la fonction

admet les mêmes infinis et, de plus, les mêmes zéros que la fonction

sn* -

sn' -

Pour X = o, les deux fonctions se réduisent à Tunité. Donc elles sont égales pour toute valeur de x, c'est-à-dire que Ton a

$,(a-+- j:)^,fa--.rl __ sn*«

a étant égal à - • On établirait de même Tégalîté