DE FONCTIONS PÉRIODIQUES

1351. Les fonctions elliptiques snu, cnu, dnu ont pour infinis les valeurs de la forme

« = 2/?2K-i- [in H-i)/K\

et la fonction tn u les valeurs de la forme

tt = (2/w -i-i)K4- irtiK'.

Il résulte de là que, si par deux infinis consécutifs, correspondants à des valeurs n — i et n de l'indice w, on mène deux parallèles à Taxe desx, la bande de largeur 2R', comprise entre ces parallèles, ne contenant aucun infini de la fonction, celle-ci sera développable, dans l'intérieur de cette bande [1178], en une série convergente, ordonnée suivant les puissances positives et négatives de Texponentielle

Remarquons que la même série ne pourrait servir pour deux bandes consécutives. Mais on peut ramener le développement pour une bande quelconque au développement pour une bande donnée, correspondante à un multiple de 2iK! moindre de v unités, en remplaçant u par u — aviK', ou x par x — avip, ce qui ne peut changer que le signe de la fonction elliptique [1311 J.

1352. La fonction snu étant impaire et changeant de signe quand on remplace u par m 4- 2K, ou a: par x -H tt, son développement, qui sera convergent dans l'intérieur de la bande comprise entre les parallèles u = zh iK', aura nécessairement la forme

•0 sna = V a,„[cf»"*+*)'^— c-C*"'-*-*)'"']

= \' 2/a;„sin(2m -h i).r.

24o LITftB VI. — CHAP. IT, § VI.

On a [1180], en multipliant Féqualion précédente pare^^'"**"*^"^^u et intégrant,

elte intéj^rale, considérons l'intégrale prise le Ion du contour d'un n^clangle {Jig* lo-) ayant sa base sur Taxe des x,

at'^ — -il- i)

I L — * îA

de u = o à u = 4^f et sa hauteur égale à un multiple pair de K', les infinis situés sur les côtés verticaux étant évités suivant des demi-cercles, tous tournés dans le même sens. Ce contour contiendra ainsi dans son intérieur deux files verticales d'infinis, correspondantes aux abscisses 2K et 4^.*

Les valeurs de la fonction snu, prises à la même hauteur sur les portions OC et AB du contour, sont respectivement égales, et il en est de même pour les valeurs de la fonction e"^^"*"*"*^'-^; donc les intégrales prises en parcourant ces deux chemins, l'un en sens contraire de l'autre, se détruiront mutuellement.

L'intégrale prise suivant BC pourra être supposée aussi petite que l'on voudra si l'on augmente indéfiniment la hauteur du rectangle. En cfTel, pour n assez grand, l'intégrale prise le long de BC,

4K. Ja

est évidemment infiniment petite pour n infiniment grand.

DEVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. 94 f

Donc rintégrale prise le long du contour du rectangle se réduit à moins l'intégrale prise le long de la base OA, c'est-à-dire à la valeur du coefficient cherché am»

Or rintégrale prise le long du contour du rectangle est égale [1128] à la somme des résidus relatifs aux a/i infinis contenus dans l'intérieur du rectangle. Si nous considérons un de ces infinis, ayant pour coordonnées l'une des abscisses qK ou 4K et l'ordonnée (av -H i)K', en faisant

rintégrale relative à cet infini sera égale [I130j à

2îr/lim V sn[2(xK -h (2y + i)iïs.'h- v]r *'"^-') t.^^-^-i*'-^ )'?+v3.

Or on a [1289 et 1291]

sn[2aK4-i2v4-ij/K'-hv]:=;— r,2*sn:/K'H-v^ = ^ -,

donc l'expression précédente a pour valeur