M COS2/?IJ

En intégrant les deux membres de Téquation de o a 2K, on aui*a d'abord

2KJ„ 2K.J^ a? ai^

On obtiendra les autres coefGcients a^ en intégrant après avoir multiplié pare2wi>^ Qq trouvera de cette manière

Cn2//<p et par suite

/o\ 1 / ICI cos2/n.r 3 dn«=:ï:( n-2 > --r-

1355. La fonction tnu a pour infinis les zéros de en m, c'est-

à-dire [1293] les valeurs

// ^=z '2/W -t- llK -H 2«/K', ou .r =: 2/» -f- i]- h- 2/I/'û.

Le développement sera convergent entre les parallèles correspondantes à u = o et à us= 2 iK', exceplé aux points (2/71 + i)K de Taxe des x, qui sont des infinis de tnu. Ces points étant en même temps des infinis de tangx, on peut faire disparaître les infinis du développement, en considérant, au lieu de Inu, la fonction

f ( « ] — tn £/ — ^7o tang JT,

la constante a^ étant déterminée de manière que le second membre s'annule toutes les fois que tn a et tango: deviennent simultanément infinis.

On a maintenant [1294]

•jtn(K -+- 2v/K'-+-v) — ;— i)^utn(K-h v)

— , , ) V- 1 V tn G u = ' — I ) V- » — ^ ,

dont la limite est - — -7 — • La somme des intégrales en question sera donc

Donc

et, par suite,

. ,, vj I ^ir^ , , . „ sînaw.r

,4) '"''=r[»*»s'+»2;(-')"'?"'chi^

1356. On a

du =2 -^ z= — j a ou a am m = an </ du»

àf anii

En intégrant le développement (3) de dni£, on aura celui de la ' fonction sunii :

, ^x isr\ 1 sîn2/M.r

- ^dm Ln2mp

a44 LIVBE VI. — CHAP. IV, | VI.

En dîfleren liant les développements (i), (a), (3), on en tirera ceux des produits

cnudniif snudnu^ sna cna = - sin^ am//.

1357. Si l'on change, dans les formules précédentes, ii en R — //, j: en x, on aura les développements des fonctions

?->; X? , . cos.'2/?n-i)jr

, , 9.1; > , . sinf2/i/-Hi..r

^^' X- ' Ch(2//i-i- i)p

/ON j ^' r V^ . „ COS2W.rl

, , I 1 T mn , , sin9.//l.r I

^^^ A'tnw tangx é^' ^ ' Chimo \

^^ïV« <;

sin 2 /Il .r

^ ' 2 -^ùirf m Cii2//io

En traitant les fonctions — » parles principes des n"* 1352

SHM cnu ^ * *

et suivants, on trouvera

i r ' . V^ ,«+! sin(2w -h r.rl

^ sn </ I sin ^- ^d Sh [ a m + I ; G I

('") ^ = ;c^ [3^ -^^2 (-')"■« 'chiïï7;r+-TfrJ'

puis, en changeant a: en - — Xy

/ ,x I dnK r f ^, ;„^.l cos(aiii-f-i)x"I

^ ' snctt cntt I cosj: ^^^ ' Sh(2m-hi)p I

{ A\ t dntf ï? r f ^ »i+i sîn(2/w-hi)xl

^ ^^ cncw ~'X'sn//"~^'j sinx "~ ^^ Ch(2/?i H-i)7 1'

1338. Ces formules sont d'autant plus convergentes que le module k et la quantité q^ qui en dépend, sont plus petits. Elles deviennent, au contraire, d'autant moins avantageuses que k et f/ sont plus voisins de l'unité, et, par suite, que k' et q' sont plus petits cl p' plus grand. Il est facile de transformer ces développements en d'autres qui sont d'autant plus convergents que les premiers le sont moins.

aura ainsi

1 Thx' + ^2(-

^ Cil ^// A- Chx' -^^ ^ ^ Ch(2A;2 -4- i)p

Ch.r'^ -^^ ^ ^ Sh(2//i-M)o'

, ^ . sn' iu 2 ï;' ^^ SIi f 9. m -h 1 ) .r' i8 In" = -^— = -77- Aeut \-l^

suc' //*

V^ (- ' )'" 7 "^ Sh ( 2 ;/2 + I ) x'

== arctange* H- 2 > ^ — • 7:7-7 —7 »

° é^ '2m-hi Sh{2m-|-i)/)

ot de même pour les autres formules. •

1359. Cherchons maintenant les développements en séries des carrés des fonctions elliptiques.

Si l'on élève au carré les deux membres de la formule (2) [13S3], et que l'on pose, pour abréger,

Lïi tip on aura

(r^<^n") =y y P,„i+iPt/n'+iCos[2/w-f-i)xcos(am'-ri)x