OD
= - \] y Pï/«4-i Pjw'+i [cf>s [im-{- 2 /w'-i- 2 ) .r -h cos [im — 2 m') x].
2 ^^tn "~"m
246 LIVRE Vf. — CIIAP. IV, § VI.
Le terme constant du développement s'obtiendra en faisant, dans le second cosinus de la parenthèse, ni = m!, ce qui donne
Calculons actuellement le coeflîcient a^ de cos a« x. Les nombres m, rtJ n'étant jamais négatifs, il faudra prendre pour termes de a,i d'abord, parmi ceux qui multiplient le premier cosinus, les termes dans lesquels am -h 2 w'h- 2 = 2/1 ou ni'=zn — m — i, ce qui donnera la somme
m=zn — \
1 éim
Or on a l'identité
Sh;3 Sha Sh(|3 — a)
Ch«Ch(^ — a) Cha Ch(;5 — a)
Cha — Sha Chfâ -a)— Sh^3 — «•
Cha Cli(,6 — «;,
Don(
Cha Ch^.-S — «
ip P
sh 2/îp L 2 ch [ 2 w -i- 1 ; 2 ch ^ 2/« — 2//i — I ; j
En sommant cette expression depuis m = jusqu'à m=-n — i, les sommes relatives aux deux derniers termes sont égales entre elles, et l'on aura, pour cette partie de a,,,
Pour les termes qui multiplient le second cosinus, on devra prendre ceux pour lesquels m — m* est égal soit à -f- /i, soit à — n\ les deux sommes ainsi obtenues étant identiques, il suffira de prendre l'une d'entre elles et de la doubler, ce qui donnera, pour
cette partie de ««, L'identité
Ch«Ch(a + ^j Ch« Cli(a-^S) Clia Ch[oL ~r [^)
donne, pour cette somme, la valeur
-^,„ Cl)(2/W -|-l)p -^,„Ch(2/H- 2//I -r- 1)0 I -J
En réunissant les deux parties ( A) et (B), on aura, pour la valeur du coefficient demandé,
"«^Sh
Or les deux sommes de la dernière parenthèse forment deux séries convergentes, composées de termes identiques chacun à chacun ; donc elles se détruisent mutuellement, et il reste simplement
d'où enfin
en
ho)
Î5n2/zo
j 2 y;- [ V ' ^ cos2/i.r I
1360. Pour obtenir le développement de sn^u, remarquons que
k ik
la valeur (2) de — cnz£ se change dans la valeur (1) de — snw,
2Tt 21}
lorsqu'on remplace, dans (2), x par - — x et îp par - — ip
(ou q par — </). On aura donc la valeur de 5 sn^u si l'on fait
2 ij
aî8 LIVRE VI. — CHAP. IV, § VI.
la même substilutîon dans la valeur de — rcn-//, ce qui donne, par un calcul très-simple,
I , 2ï;* I v^ I ^^ coS2/î.r I
I Sn'tt =::= I > o > /f I
•" I 7 r z — T": — 7 z- c^s in.v \
Les deux formules ( 20 ) et (ai) donnent, comme on devait s'y attendre, pour cn^ u -f- sn^ m, une somme constante qui est la même pour a = o, c'est-à-dire Funité. On en conclut la formule
^ ' T,' \ ^ J ^ lCIi';2/* — I Slr^2« — ij/aj
qui fait connaître la valeur de K au moyen de celle de k et de celle
K' de p ou du rapport — •
En ajoutant les formules (20) et (21), où Ton aura fait dans la
première x = o, dans la seconde x = -j il viendra
V3* -^ Ch*f2// — 1)0 hh2/?o
v;* ^^ 1 Sli* ■ 2 // — I j (0 Sli 2 /< p J
Si delà somme de ces deux égalités nous retranchons Tégalité (22). il vient cette autre formule plus simple :
1361. En opérant sur la formule (3) comme nous avons fait sur la formule (2), on obtiendra le développement de Atï^u sous
la forme
,1 %"^ ï ^n COS2/IJ: I
^Ul'2//p ^ Sh2/7p
§ vu.
