Pçsin/i5./Ç^(~i

= 21 sinx sin2j: -h -sinSj: — . . . ) .

Cette série représentera, entre les limites — tu et -I-tt, l'ordonnée de la portion correspondante de la bissectrice de l'angle des axes positifs. Dans les intervalles suivants, de 4-ir à H-Sît, de Stt à -h Stt, . . . , et de même dans la direction opposée, la série représentera l'ordonnée de la même portion de bissectrice que Ton aurait transportée parallèlement à elle-même le long de Taxe des X à des distances 27r, 4^; •••• Pour les abscisses mêmes ± TT, ih 3?:, . . . , la série représentera les points correspondants de l'axe des x.

III. On donne le contour d'un trapèze isoscèle OABC, dont la base OC = a est située sur l'axe des Xy l'angle AOC = BCO

étant égal à jy et la hauteur du trapèze étant b. On veut représenter l'ordonnée de ce contour par une série trigonométrique, en supposant qu'il se reproduise identiquement tout le long de l'axe des x, la fonction ayant, par conséquent, a pour période cl étant une fonction paire. On prendra alors la série des cosinus, avec les formules

SERIE DE FOURIER. 3l

Pour effectuer les intégrations, on décomposera chaque intégrale en trois parties, séparées par les abscisses b et a — i, de sorte que

:,, --^-1 / Çcos d\-\- I bcos d^-h 1 « — Ç cos rf?

""iJo ^ Jb « Ja-b « J

4 /•* 2/l7r5^ lb f«-* 2/î7rÇ ^ = - I Ç CCS oÇ H / cos r/Ç

a / 2nnb \ -r-jlCOS 1 ),

nb . in-Kb

-.^ — sin h y

avec

Si Ton suppose a= a&, le trapèze se réduit à un triangle et les expressions des coedQcients se simplifient. Il vient alors

\ a ia

^.,__^, .,„„, -*,«+,- ^^„^,j,^,^ d'où

En faisant x == o, on aura la formule

ir* I I 1

IV. Si, au contraire, on suppose que les trapèzes soient situés alternativement au-dessus et au-dessous de Taxe des x, la fonction F(a:) sera impaire, et l'on devra prendre la série des sinus. La période de la fonction sera alors 2a, et les intégrales devront

être prises entre les limites — : a et -f-a. La fonction F(^) sin étant paire, on aura, pour cette fonction [460],

/ittÇ a

3i LIVRE VI. — CilAP. 11, § III.

Donc la valeur générale du coefficient (3» sera

valeur qui s'annule pour n pair, et qui, pour n impair = im -h i , devient

\n . ( T. m -h I ■ TT //

Donc le développement cherché sera

F L/- == -^ I sm — sm h — sm sm

^ 7r* \ « r* û' fl a