I -h en

On en tire, réciproquement,

dnw =: ri A- Slltt = r» CtC.

En faisant snit = z^ et substituant ces valeurs dans Téquation

Jo v'('

on aura

ku z=z I —

-fv-

1363. Si Ton pose maintenant

TRAXSPORMATIOX DE LANDEN. J.'il

l'égalité (5) deviendra

(6) Lt£«... r !- .

Donc, si Ton considère un nouveau module / et un nouvel argument 1^, liés aux anciens, k et ii, par deux relations auxquelles on peut donner les formes suivantes :

" I 4- it I -h X- I H- / I -H /

-r- X'' (8) Pzn w, // = — — ^1»=: (l -I- /)i', ku'~—7.)[l.V,

et dans lesquelles a et i^ varient dans un rapport constant, les fonctions elliptiques correspondantes aux deux systèmes (//, k), (t^, /) seront liées entre elles par la relation

Nous conviendrons, pour abréger l'écriture, de rapporter au module / toutes les fonctions elliptiques de l'argument v où le module ne sera pas explicitement indiqué. Nous aurons, d'après cela,

V^/ .snp :— t = tiing - am ( kti, - j nr i / -

(lo) {

V' I -4- /• sn « — v' I — /i sn //

— diw/

dnu

^i -h k snu -h V ' — ^^ ^""

ce qui donne

-+- X* sn « I -}- y/ . sn p 1 — v^/.snp

— X- sn u

On voit par là que z = snu et j)'" = snç' sont liés entre eux par une relation du premier degré en z et du second degré enj^. Cette transformation du système (z, k) dans le système {y, l) est dite, pour cette raison, une transformation du second degré.

Comme on a <^ ou i, il s'ensuit des équations (y)

•i)2 LIVBE VI. — CIIAP. IV, § VII.

et (8) que Ton a à la fois

Si ;> 1% et 1/ > V.

Donc la transformation précédente diminue à la (ois les valeurs du module et de l'argument des fonctions elliptiques.

136i. Des équations (lo) ou (ii) on peut tirer les valeurs de toutes les fonctions elliptiques de (f, /) au moyen des fonctions elliptiques de (//, A). On trouve, par exemple,

/ /i-hX' /i — dn// sur zr- 4/ 1/ — -,

CWV r

/ ). /ànu-^-k'

tlH» I

-, — =: tn«,

SlICf

__ /\ -\- /.' /diitt — /' " V i"^^^^ V /' H- dn tt

/ 2/' / I -I- diitt

dnci-

— I — / tn w.

I — du M

cncrzrii/ rr 1/ t: j

-4- du //

Inrc

A ces formules on peut joindre celles qui donnent les fonctions

elliptiques du double de l'argument v. On a, par les formules ( a4 )

dunH3i5,

rn*w — sn'wdn'ii

en 2 « r.

dn*i/ — /*sn'//cn*tt

dn 2 « := 1*1

I — A^siri/