TRANSFORMATION DE LANDEN
1366. Si Ton représente snu par z, snk parj', Téquallon (lo)
rv
^/i -i- Az -h V * — ^^
pourra s'écrire sous la forme
IQ) /£= ■ '
Telle est la forme la plus simple de la relation entre les fonctions sni/y sni^y qui a fait donner au passage de Tune de ces valeurs à l'autre le nom de transformation du second degré [1363].
1367. La transformation que nous venons d'exposer, et dont la découverte est due à Landen, fournit une des méthodes les plus simples pour le calcul numérique des intégrales de première espèce.
Si Ton applique plusieurs fois de suite cette transformation, on obtiendra une série indéfinie de modules complémentaires
dont chacun se déduit du précédent en vertu de la formule
Le calcul des quantités h'^ acquiert une grande symétrie si Ton pose
auquel cas la formule (ao) devient
m„ ' {(w^,-f-/ip i)'
le rapport des nombres np^ nip étant seul déterminé, on pourra supposer ces nombres respectivement égaux aux deux termes de la fraction du second membre, ce qui donne
>-î6 LITKE Tl- — CIl%r. IT, 5 VII.
La clêteriniDatioii de ces deu\ suites de nombres modulaires se fora donc par le calcul de deu\ suiles de moyennes, les unes arilhméliques, les autres géométriques. On aura ainsi successivement
/W - I , m rz:^ * /!/*
Ces deux suiles sont Tune décroissante, l'autre croîssanle, et chaque nombre de la seconde est toujours moindre que son correspondant de la première, tandis que la diOerence de ces deux nombres décroît indéfiniment. Les nombres des deux suites tendent ainsi vers une limite commune r, comprise entre i et A', et dont ils se rapprochent très-rapidement.
En même temps, les rapports ''21) convergent vers l'unité, eU au bout d'un petit nombre d'opérations, on parviendra à une
valeur A' sensiblement = 1. On pourra considérer alors Ay,=y^i — A^~ comme nuj, et par suite K^ comme égal à -• C'est ce qui résulte de la relation (i j ' du n° 1365, d'après laquelle on a
— ^ — iP --.
Kp ne pouvant jamais devenir moindre que -> K' doit donc croître
indéfiniment, et, par suite, h'^ doit converger vers l'unité etA^^ vers zéro.
1368. Cela posé, la relation entre deux quadrants consécutifs
'^ tn, '^
H-Vt '"P
amènera la suite d'égalités
K m K, /M, Kp, mj^y
Kl //Il Kj ///j Kp tUp
qui, étant multipliées entre elles, donnent
m nip
