CALCUL NUMÉRIQUE DBS INTÉGRALES ELLIPTIQUES
Si p est assez grand pour qu'on puisse supposer rrip égal à la limite >}, et K^ = -9 on aura alors, à cause de m = i,
lî 2
Si Ton fait le calcul analogue en remplaçant le module A' par A,
on obtiendra la valeur du quadrant complémentaire K^, et par suite
celles de
ùz=zr,\\.\ <7 = e~'?, etc.
1369. Considérons maintenant une intégrale elliptique de première espèce et d'argument quelconque, donnée par son module A et par une quelconque de ses fonctions inverses snz£, en m, ..., ou, ce qui revient au même, par son amplitude cp :
^'' Jo A?
Aux diverses valeurs de A' obtenues par la transformation pré cèdent e correspondent diverses valeurs de dnu ou A'^, En remplaçant A' par sa valeur (21), et posant
Xp = sjrnl cos* y,, -h n^ sin* ^,, , on aura, pour la ^'*'"® valeur transformée,
dni/., =: — . nip
Si l'on substitue dans la troisième équation (la) du n» 1364,
la valeur précédente, on aura généralement
mp V 'W/» V 'Wp-i + V^-i
En posant- maintenant
'^ nip ^ Vp H — Cours de Cale, ittfinit., IV. 1 7
a58 LIVRE VI. — CHAP. IV, § VII.
on en tire les deux formules
'^ V '"/> V «-+-.VI V ''V V '-Hv^i
au mojen desquelles on formera deux suites de nombres,
correspondants aux nombres modulaires m^, Up.
Les nombres y^ = my,Uy,r=: ^ tendront vers la limite
\!r^^:^^s'y -\-rM\w^y —r,^
et par suite les nombres ^py Vp vers l'unité; donc —^ tendra aussi
nip
vers l'unité. Or on a, d'après les formules de transformation (8) du n° 1363,
mp
d'où l'on conclut, comme au n° 1368, pour^ suffisamment grand,
iip
Donc la limite de Up est r,u ou x.
De plus, par la quatrième formule (12) du n^ 1364,
tniip. , = -; -— tn#/„,
fHp ôntip \p
et, lorsque p est assez grand et A*^ sensiblement nul, tnu^ se confond avec langiip ou tangj:. On a donc, en multipliant entre elles les égalités
Téquation
m /ni
tn II =^ — tnir., tnii. =: — tnaj.
/n /ft| /itp| tnn = tang9 = • • • —- — tang
d'où l'on tire, à cause de m = i et de \p = r,
tang J- = ic . f*! ttj . . . i^p^i tongf ,
CALCUL NUMERIQUE DBS INTEGRALES ELLIPTIQUES. 259
Connaissant x au moyen de cette équation, on en déduira la valeur de
On aurait également pu, en partant des formules
( I -h XM sn « ( I -h A' ) en //
I + dnu ^'4-dn£l
calculer des expressions de sino:, cos x, analogues à celles de tangjr. Le calcul numérique de ces expressions est notablement simplifié par l'emploi des logarithmes d'addition et de soustraction.
1370. Les mêmes nombres modulaires qui ont servi à calculer K peuvent aussi conduire à la valeur de q^ et par suite aussi à la valeur de K'. Pour le démontrer, posons
produit dont il est facile d'établir la convergence, lorsque q est moindre que l'unité. En vertu des identités
le produit pourra se mettre successivement sous les formes suivantes :
ou enfin
uGo LIVRK VI. — CIIAP. IV, § VII.
ce que Ton aurait pu conclure imniédialement dé la première transformation, qui peut s'écrire sous la forme
On a donc, quel que soit y,
'-^^0-4-7)^rH^)XTT7^)
Or nous avons trouvé [1336 ]
*^ 11, + <,«"-!' et par suite, la transformation de Landen changeant q en ç^ [1365],
