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* '2" 11 ,j.,yMt//H-l;

Donc le produit

est égal au produit de toutes les expressions

dans lequel on aura donné à /z toutes les valeurs entières, de zéro à l'infini. Donc

Or, d'après ce que nous avons établi au n® 1336, on a

CALCUL Nt'MÉRIQUE DES INTEGRALES ELLIPTIQUES. 201

d'où Ton tire, en vertu de la relation MM'N'= i,

Donc, en vertu de la formule (i), on aura

ou, en mettant pour h!^k\^ ... leurs expressions au moyen des nombres modulaires,

-^te)X^)'(,:;)--]'

Connaissant y, on en tirera les valeurs de

(3) = ilog-^.zv;K'. K'=— logi.

1371 . On peut encore déduire des formules de transformation établies au n° 1364 une méthode très-prompte pour calculer dans tous les cas la valeur d'une intégrale de première espèce, donnée par son module et son amplitude. Cette méthode est surtout commode lorsqu'on fait usage des Tables qui donnent les valeurs de

log ^ correspondantes à celles de logx.

En appliquant à l'intégrale u deux transformations successives, la première changeant (w, A", y) en (i^, /, ^^), la seconde changeant (*^? A <7^) en [wy X, <7*), les formules (i4) du n® 1364 donneront

en 2 iv = en p snc v — sn f cnc c dn2u'n= Cl r snc»' -+- sufcnct^.

Si l'on remplace maintenant les fonctions de v par leurs valeurs tirées des formules (12) et (i 3) du même numéro, on trouvera, par un calcul facile,

en ^n» I -h v^^ ' dn n — \p?

dii2ri' "" I— yA' dni/-H v"/-''

y» LITBC Tl. — CHiP. IT. i TH.

ExpnmoD^maîoteDdDtle rapiiort au moven des fondions S-,

en remarquant que la translMmiation d*? Landen. laissant le rapport - = -- coni'lant. ne change j»a> la valeur du rapport

^m xr

il viendra

cnr»rt I 5, ïj-, ^*'

du iM ; >, 2x, ^*

A l'aide de> relations

on en tire

2du«-hvZ' ' — 2 7*o»*4-r-t- 2^''or>b-r-+-. ..

Si Ton fait maintenant x = o dans cette équation, et que Ton pose

il \ient

équation d'où Ton peut tirer la valeur de q au moven de celle de a, soit par la méthode des substitutions successives, soit en développant q suivant les puissances de z par la méthode des coefiicîents indéterminés. Dans ce dernier cas, on aura une série de la forme

En etTectuant le calcul des coelTicients, on trouve

Si Ton développe à son tour a en fonction de k, on obtiendra