l LIVRE VI. — CHAP. ÏV, § VIIÏ

Donc l'intégrale prise le long du second contour élémentaire sera

Si Ton ajoute maintenant aux parcours répétés des quatre contours élémentaires un chemin rectiligne, et que if soit Tînté^rale

prise le long de ce chemin, lors({ue les deux radicaux y^i — z-,

Y^i — k'^z' partent de O avec la valeur 4- i, la valeur générale de rintégrale E(ç) ou élu sera

ela = 2 (/« -h /i) E -+- 2/« ; K' — E' ) -h (— I )'"+«»', ou, si l'on remplace //*4-« par ]ut, n par v,

el« = 2 uE -4- 2v/(K.' — E') -h [— I >»'.

1376. D'après la définition, on a

On en tire aisément [1308]

sn'udu =r X* 1 {l^ =z u — eltt,

cuMu/tt = X» / df =. e\u — k'*u,

tn*ttr/ii = X'* / "^ • df =1 tniidnw — elw.

Si Ton change u en tu, on a [1319] -el(iK)= 1 dn'/ar/tf = / — —- du=z j — , '

Or on déduit facilement, de la formule (i) du n® 1306,

' — —- = tn'ttdn II 4- X*ii — el'a.

- en «Il

Donc

(5) ~e\iu = u — el'tt + tn'tfdn'w.

1377. Le théorème d'addition pour les intégrales de seconde espèce. — Reprenons les notations du n? 827, V, et posons, de

|)lus,

E(y) + E(yJ = U.

On en tire, en différentiant,

(6) ifdf-{-^x,dx = dV^ équation à laquelle il faut joindre la suivante :

^ -+-^ = o ou

Cette équation, ajoutée à Féquation (6), donne

^U —(Af) + Ax) [df -I- dx).

On a d'ailleurs, en posant cf -f- ;j = /;,

^ . * «. At -4- î

A» -f- Ay 1= B smp, ou B = — : :

^ '• sino-

donc

dlJ = B8Ïnpdp, d'où

U = — B cosp •+■ C,

c'est-à-dire

E(?) + E(x) = --^^cos(yH-x)-HC.

Pour déterminer la constante G, faisons cp = o, d'où ;^ = a, et, par suite,

^ , , At -♦- f ^

E ( (t) = : coso- -f- C.

^ ' suio-

On en tire, par soustraction,

E(f ) + E(x) - E((r) = - ^^j^ [cos(y 4- x) - cost],