LIVRE VI. — CHAP. IV, § VIII

on, en vertu de la relation trouvée au n» 827,

£(?) + E'>J -E;(t) z= -^r— ^ siny sinx(i -- A(r),

ou enfîn

E(y) -4-E(/) — E(<r) =1 /'siu^sin^sino-y

c'cï»t-à-dire

eltt H- eli* — cl(tt + v) =- A' snu soc^sn^ii 4- *»).

Si Ton suppose il vient alors

c\u -t- cl ( K — u] — E = X* sn tt snc u = /'

sn u en u dim

1378. L'écjuation (3) conduit immédiatement au théorème de Kagnano [7i6j. Si Ton désigne, en effet, par asin^, icosç les

Fi g. 108.

coordonnées du point M' {^ig. 108), et par asinj^, icosjf celles du point M ; si, de plus, on pose

ç>-iam(tt, /), x = am{v, k),

k étant égal à l'excentricité de Pcllipse, on aura, pour ç» = K — 11,

c'est-à-dire

expression égale à — A ou à MT, si Ton a pris f =: u.

1379. Le théorème d'addition permet d'exprimer, à Taide de fonctions d'arguments réels, une intégrale de seconde espèce ayant un argument complexe u ■+- tV. On a, en effet, par la formule (7),

el ( tt -i- /V ) z= el 1/ -h cl w — /' sn u sn /V sn ( a -4- /V) , ou, en ayant égard aux formules du n° 1376,

el(tf -h A») m: eltf -H /(i* — elV -j- tnVdn't»)

(9) { ,• , en// (Inw sn'wrn'w — isnnân'p

^^ * -f-X»sn//tnV —

I — dii*//sir*p

1380. Des formules (23) du n° 1349 on tire, en différentian t ,

Substituant cette valeur dans la formule (24) du n® 1361, il vient

(In'tt =r,^ 1 I H- 2

^^ Ch*'2//(j /

Si l'on intègre à partir de m = o, on en tire

En faisant, dans les deux membres, a = K, l'équation devient

d'où, en éliminant la somme infinie entre ces deux équations, et mettant pour m sa valeur — — 5 on conclut la formule

(11) elii= — a + Z(i/) = --«-MîDj,log5(x),

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1381. Tliéorème de Le gendre sur les intégrales complètes de première et de seconde espèce, — Considérons les intégrales

comme des fondions des deux variables indépendantes 9 et A* Si nous dinerentions F(9) par rapport à /r, on aura

Or la formule (2) du n" 1306 donne, en y faisant r/ =: 1 et remar quant que Ton a

ïih-Kry'^)

la relation

T%r./' ït^\ ^ -w^ , \ ^ sîn»cos»

On a ensuite, de la même manière,

Faisant, dans ces deux dernières équations, 'S* = -9 on a les deux relations

Les quantités A, A^ étant liées par Téquation

il^n résulte

Cl par suite, /désignant une fonction quelconque,

Diaprés cela, si dans les formules (la) on change k en A', on

INTÉGEALES ELLIPTIQUES DE SECONDE ESPÈCE. SJf)

aura les valeurs de D;{.'I^'> ^a^^'i et par conséquent celles de

Si, au moyen des valeurs (i) et (2), on forme la dérivée de l'expression

(i4) H = KE'-^ K'E — KK',

on trouvera que cette dérivée s'annule identiquement. Donc la quantité H est indépendante de A*, et sa valeur est une constante, qu'il est facile de déterminer. Si Ton remplace, dans le second membre de (3), K, R', E, E' par leurs valeurs

ff TT W ÎT

où A';j = \/i — A^" sin^;^, on aura [i83]