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1382. Calcul numcrù/ue des intégrales elliptiques de seconda espèce. — On pourrait appliquer au calcul de ces intégrales la méthode des transformations modulaires dont nous avons fait usage pour calculer les intégrales de première espèce. On trouvera les détails de cette application dans les Traités de Gudermann et de Schellbach. Nous nous contenterons ici de rappeler les procédés que nous avons indiqués dans ce qui précède, et qui sont suffisants dans la pratique.

On commencera par calculer, par un des procédés exposés plus haut, les valeurs des intégrales K, K', u et des constantes q, t/. On déterminera ensuite la valeur de l'une des intégrales complètes E, E', en prenant de préférence celle qui répond au plus petit des modules k, k', et se servant de la série indiquée à la (iii du n" -453. En posant ainsi, dans le cas où A < A',

on aura

d'où, en ne conservant que le terme constant,

Ao^^- cob*-

et, en intégrant de o à -9 il viendra

Ci -^vi^»

Puisqu'on peut toujours supposer 9 <^ 7 » la quantité tang* -9

par rapport à laquelle la série est ordonnée, sera, dans ce cas, <[ — ï et par suite la série sera très-convergente.

Si la série qui donne la plus grande des intégrales E, E' est trop peu convergente, on pourra alors tirer cette intégrale de la formule de Legendre, établie au numéro précédent.

On pourrait calculer de la même manière Tintégrale d^ampiitude

INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE SECONDE ESPÈCE. 9.8l

quelconque E(y), dont le développement serait semblable à celui que nous avons donné pour F(9) au n° 455, et où entrent directement Tamplilude et le module donnés.

Mais, lorsqu'on a déjà obtenu u et K ou (f, il est plus simple de calculer E et E(©) = élu par les formules du n" 1380,

eli/ = j^//-+- — D^lo-^(.r),

auxquelles on peut toujours donner une forme, très- convergente. Exemple. — Si l'on prend, comme au n° 1373,

y=o*T,9, arcsin/- =^ o*ï,8, les formules précédentes donneront

puis

d'où

log-^ ::z: 1,6-2688, E == I , I O I I ,

j^tf — 0,89340, >3 ^z= 0,15735,

(ilti -~ 1,05076.

§ix.

1383. Nous avons vu [1308] que la forme générale des intégrales de troisième espèce peut se ramener à celle-ci,

ou, en posant ^ = ami/,

niamii,/i]= I T- »