LIVRE VI. — CHAP. IV, § IX

le module étant toujours représenté par la lettre k, à moins d'indication contraire.

Si Ton fait siny = snw = z, l'intégrale deviendra alors

n (arcsinz, /i = f : — ■>

et sous cette forme on voit que la fonction sous le signe f a trois

couples de points critiques, savoir les points ±1,1+1-7» qui lui

sont communs avec les fonctions correspondantes aux intégrales de première et de seconde espèce, et qui, tous les quatre, sont à la fois des infinis et des points de ramification de cette fonction, et

les deux points =t i/ 1 qui sont simplement des infinis.

En considérant les intégrales prises le long des contours élémentaires qui entourent ces six points, on trouvera d'abord, pour les quatre premiers, des résultais semblables à ceux que nous avons rencontrés dans Tétude des intégrales de première espèce, ce qui donnera, pour Tintégrale, deux périodes, correspondant Tune aux

contours (=ti), Taulre aux contours fzfcjj- Les deux autres points critiques =i= i/ jouiront des mêmes propriétés que

ceux de l'intégrale 1 — ; [12S7J.

Nous engageons le lecteur à reprendre sur l'intégrale II tous les calculs que nous avons développés dans le Chapitre précédent, en traitant des intégrales

x-hiiz^' Jv''-^' J Vil -5^11 -/'**;'

On voit ainsi que l'intégrale H a trois périodes. On pourrait, d'après cela, être entraîné par l'analogie à en conclure l'existence d'une fonction triplement périodique, inverse de cette intégrale. Mais Jacobi a fait voir ( * ) qu'on ne peut introduire dans l'Analyse

(*) De Junetionibus duarum variabilium quadrupliciter pcriodicis {^Journal de Crelle, t. XIIÏ).

des fonctions périodiques d^une seule variable à plus de deux périodes, et nous renverrons, pour ces recherches, au Mémoire de Jacobi et à celui de Rosenhain (*).

1384. Les propriétés de Tintégrale II dépendent princi paiement de la situation relative des trois couples de points critiques dbi,

z i/ Nous avons déjà vu que Ton peut toujours ramener rintégrale au cas où la constante k est réelle et numériquement moindre que Tunité. Nous verrons bientôt aussi [1392] que le cas de n complexe peut toujours se réduire à celui de n réel.

Cela posé, en ne considérant qu^un seul point de chaque couple, on verra que, suivant que Ton se trouvera dans Tun ou Tautre de quatre cas,

/'</ï<o, o<^n<i-\-co ,

représentés par la fig. 109, le point critique — = occupera, par

Fig. 109.

rapport aux deux autres, les positions correspondantes indiquées par \^Jig. iio.

Quand le point coïncide avec un des deux autres, nous

(■) Sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes {Mémoires de l'Institut de France, Savants étrangers, t. XI, p. 876; i85i).

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avons vu [1306] que Tinlégrale TI se ramène aux intégrales des

Fig. no.

Ir

ttr

deux premières espèces, en vertu des formules

f cir li J du'//

,,. , snr/dnM / ' w — el li H t

en H

, , . sn // en n

ol« — X' — ■ .

un M

Pour n Pour n

30 , //Il a pour limite [1306, 2**]

(/u cnf/dnM - ^~ z=z u — 01 1/

su* //

snK

1385. Si 7ï parcourt Taxe des x, de — ao à 4- oo , alors, dans le passage de Tune à l'autre des régions indiquées par les n*** (i), (a), (3), (4) sur la//^. 109, le produit

que Ton pourrai t appeler le nombre caractéristit/ue de Finlégrale II, changera chaque fois de signe. Nous verrons que du signe de N dépendent les propriétés fondamentales de Tintégrale.

D'après cela, nous diviserons les intégrales elliptiques de troisième espèce et de paramètre réel en deux classes : la première, correspondante aux valeurs négatives deN, et par suite aux cas où le paramètre n satisfait à l'un des deux systèmes d'inégalités

sera dite la classe des intégrales à paramètre logarithmique; la

seconde, pour laquelle on a N }> o et l'un des systèmes d^inégalités

sera dite la classe des intégrales à paramètre circulaire. Nous donnerons bientôt la raison de ces dénominations [1390].

Si Ton désigne par a un argument réel, que Ton pourra toujours supposer compris entre — aK et -f- 2K ou entre — aK' el -I- 2 K', les nombres compris respectivenaent dans les quatre intervalles (i), (2), (3), (4) de Xdijig, 109 pourront être représentés par les expressions

sac' a Donc la première classe comprendra les intégrales des deux formes

fht r" rfff

suc'«

et la seconde classe les intégrales des deux formes

du

-f- X'*tn'*«sii'i«

1386. Outre les intégrales de la forme

la troisième espèce d'intégrales elliptiques comprend encore d'autres intégrales, liées aux premières par des relations simples,

savoir les intégrales

" STi^ndit î ,

I H- // su* u n

X" cn-nrfn u f i\ r- — -H i-H-)n, I -4- n sn' u n \ n j

/ ^ = l-iH n,

J iH- /ï sn* u n \ n ]