LIVBB VI. — CHAP. IV, § IX

dont chacane se partage en deux classes de la même manière que n.

4387. Les périodes des intégrales de troisième espèce qui répondent aux points critiques ii= i , ih y sont, comme pour les intégrales de première et de seconde espèce, des multiples des intégrales complètes

Les périodes relatives aux points zh — t:^= auront pour valeur,

au signe près, la valeur, pour z = — -- % de l'expression

... / I \ I ir/i

aisiuml z - - I = = — =>

N désignant le même produit qu^au n® 1385. Cette période est donc imaginaire pour les intégrales de la première classe, réelle pour celles de la seconde.

1388. Si Ton change u en iu^ on a

J^ I 4- « sii'/tf ~^ Jo I — « tii'*a J^ i — (/!-+- 1) sn'"«

/i-hiL"^ Jo i-(«-+-i)sa'*ttJ

c'est-à-dire

n[am/i/, /i, k\ m 1 Ilfam «, — n — i, «^ ).

^ '»^ /ï-hi n-\'\ ^ '

LMntégrale se change donc en une autre, de module complémentaire et de paramètre — n — i .

Le nombre caractéristique de la nouvelle intégrale, de module V^

étant égal à

-/i(/t-4-l)(/i-hX-'«),

celte intégrale n'appartiendra pas à la même classe que la première n (amu, n.,h).

1389. Tliéoreme d' addition pour les intégrales elliptiques de troisième espèce. — Soient Tl[^, n), n(;j, w) deux intégrales demême module et de même paramètre, et posons

d'où

1 1 -h w sin*y) Ay ( IH- /< sin*x) 1/^

Si la somme des intégrales de première espèce d'amplitudes ç, j^ doit être constante, on a alors

' ^ Ay Ax '

d'où, en éliminant r/jj,

/t f si n* )^ — sin* f ) r/y

dV =