I : sin(m+1)(£—x
| 7 2 F(&)4 sins(ë —xr)
converge, pour m infini, vers la limite F(x).
1183. Commençons par chercher la limite, pour z infini, de l'intégrale
k (2) nee)
sin dt,
sin é
Lac A T ; h désignant un nombre positif £ et f (t) une fonction de £, que
nous supposerons d’abord constamment finie, continue et non croissante lorsque t varie de o à L, c’est-à-dire telle que l’accroissement f(t+e)—f(t) soit infiniment petit avec €, et de signe contraire à € s'il n’est pas nul.
Remarquons d’abord que, dans les limites assignées à la va-
sin z2t : :
conserve toujours une valeur finie, quel
riable #, le rapport que soit 7, et qu'il tend vers la limite 7 pour t = 0. Mais ce rap-
: ; * : ; VTT port n’est pas toujours de même signe. Soit, en effet, — le plus . Te . . .
orand multiple de — qui soit contenu dans L; partageons l’inter-
: à e HTrls , valle À en intervalles paruels égaux chacun à —, à l'exception du # Zè
s VTT . T . .
dernier } — —;, qui sera <7 -+ Les valeurs de sinnt qui corresn 7
pondent aux valeurs de t comprises dans les intervalles successifs entre Te Te 27 (y | }x VT vT
OVett ONE SEE tetes JR RER 72 72 24 2è 7è 7
seront de signes alternativement positifs et négatifs; il en sera de
Sin 24
même des valeurs de l'expression HE) » et par suite des inté-
sin é grales de cette expression correspondantes à ces mêmes intervalles. Si l’on désigne donc par wo, ui, ..., u, les valeurs absolues de ces intégrales, le signe de l’une d'elles ux sera celui de (—1}#.
De plus, il est aisé de voir que ces valeurs absolues wo, wi, ..., ux, ... Vont en décroissant à mesure que l’indice À augmente. Si
TT l’on remplace, en effet, dans ux, £ par t +- n° Pour ramener ux aux mêmes limites que wy,, on aura
kr
72è Q ’ T\SINiI2t+T re r (e —- =) A sin “e =) L(k—i)r #
kr
[7 ® T sin 24 nm} . 5 sin ( = = (A—1)+ fe
En comparant cette intégrale à
Eu nt fes l — ] u = = dit ) k—1 mx Er Sin d :
on a, par hypothèse,
107 )EF(e)
I I —— Re : Te Sin £ Sin | £ + —
Donc l'élément de l'intégrale wx est moindre que l’élément correspondant de ux 1, et, par suite, ux<T ux 1.
Pour les deux dernières intégrales u,, et u,, à la diminution de l'élément en passant de la première à la seconde se joint encore la
RE : : mas VT , T diminution de l'intervalle des limites, — 7 étant : si Donc,
a fortiori, u, <u,1.
20 LIVRE VI. — CHAP. Il, $ 111.
1184. Étudions maintenant de plus près l'intégrale de rang 4,
e sin Z2( — lu — he 1 LL ie fe) siné
sin z
