THAT

Des deux facteurs A Fe et qui composent la fonction sous

Sin € le signe /, et qui sont l’un et l’autre continus entre les limites de l'intégrale, le second conserve un signe constant entre ces limites. : Donc, d’après la formule établie au n° 283, VI, la valeur de l’intégrale u; est, au signe près, égale à l'intégrale du second facteur. multipliée par une valeur moyenne du premier facteur, de sorte

ee kr D(AHi)r que, en désignant par f; une moyenne entre fe et f 2 el

on aura

AH )r FRPATISiNn y | ir

Li Sin £

(3) Ne"

La nouvelle intégrale dépend de k et de 7, et sera du signe (—1)f. Désignons-la par (—1)"s;, et cherchons vers quelle limite elle tend lorsque, À restant invariable, 7 croît indéfiniment. Pour

cela. remplaçons £ par —; il viendra

(—1)fs,— ARS c

— de T

\ Æ Le , n Sin —

UT : À note et, comme 72sin—; pour 7 infiniment grand, diffère de + d’une frac- /è

on infiniment petite de lui-même, l'intégrale (—1)#54 aura avec

GI) sine | À

l'in tégrale

L] L2 L 2 , L2 , L2 T 2 un rapport infiniment peu différent de l'unité, et, sin— étant

moindre que =? Ce rapport sera de la forme 1 —e, e étant un infi-

niment petit positif.

re 30 © sinr Or, on a vu [481, 482] que l'intégrale J —— dr a une valeur

& à s a A T 7 2 finie, égale à — On peut la partager, comme nous l'avons fait, pour l'intégrale (2), en un nombre infiniment grand d’autres intégrales, prises entre les limites respectives

CCR ET CRT Te AT et (4 +<i)r, HR ONE

et qui seront précisément les intégrales que nous venons de dési-

sa Sin T à :

- dr sera la limite

gner par (—-1)*04. Dès lors, l'intégrale J de la somme de la série infinie

Go— Ste. +(—1o;+...,

= . . . Te laquelle, par suite, sera convergente et aura pour limite —.

Les termes de cette série allant toujours en décroissant, il résulte d’une proposition connue que la somme 2, des Æ premiers

ES TES : | MireiT ; termes sera inférieure ou supérieure à la limite —, suivant que k

; , à ALERT rar Te sera pair Ou impair, et qu’ainsi cette somme différera de - d’une

quantité moindre que le terme suivant 04.

1185. Revenons maintenant à l'intégrale (2), et cherchons à déterminer la limite vers laquelle elle converge, lorsque # croît indéfiniment.

Quand 7 croîtra, les intégrales partielles ux; changeront de valeurs, en même temps que leur nombre augmentera. Soit N un nombre entier, indépendant de », et que, pour plus de simplicité, nous supposerons impair. Le nombre y, qui croit sans cesse avec », finira par surpasser N, quelque grand que soit celui-ci.

Cela posé, partageons la somme uÿ— u; + us on dus: groupes, dont l’un contienne les N + 1 premiers termes, et l’autre tous les termes suivants. Le premier groupe sera, par la for-

mule (3),

(4) oo — 181 + 282 — eo — sx)

et le second, dont le nombre des termes croitra avec 7, sera (5) INR ISNLI UN Nes

Il est facile d’obtenir la limite de la somme (4) pour 7 infini. En effet, les quantités f,, fi, ..., fx, étant respectivement com-

prises entre les limites

puar(e Aer» 5) AE]

convergeront chacune vers f(o). D'autre part, les quantités 56, Si» -.-, Sn COnvergeront respectivement Vers Go, Ci ++ » ON: Donc la somme (4) aura pour limite

flo)(s— or) mao ler ON = / 10. 2N.

On peut donc la représenter par

Do

à étant un infiniment petit positif.

Considérons actuellement la somme (5), composée d’un nombre indéfiniment croissant de termes. Ces termes étant alternativement positifs et négatifs, et chacun d’eux étant numériquement moindre que le précédent, la somme sera, quel que soit le nombre des termes, positive et moindre que son premier terme. Elle sera donc moindre que la Hmite de

fx +15N+1 SJ\0 ss: »

laquelle est moindre que celle de f(o)5%.,augmenté d’un infiniment petit positif e. Donc l'intégrale (2), somme des deux groupes (4) et (5), finira par différer de f(o).Z, d’une quantité numériquement moindre que d + f(o)ox.1-+e, 0 ete étant des infiniment

2 mis T 7 ; peuits. D'autre part, Z, diffère de « d’une quantité moindre que . . . Te Sx41- Donc l'intégrale (2) finira par différer de - f(o) d’une quan- N+1 5 (2) Ê ir ) d

uité moindre que d+e+2/f(o)an+:.

Or, la série c5 — 0, + 6—... étant convergente [ 1184}, il en résulte que son terme général doit être infiniment petit pour un indice infiniment grand. Donc on peut choisir N assez grand pour que 6x4, soit moindre que toute grandeur donnée. Donc l’intégrale (2) finira toujours, pour z croissant indéfiniment, par différer

= TT aussi peu que l’on voudra de SJ (o). On aura donc

sin Le

(6) lim rio He 10e

71— © siné

1186. La démonstration s'appliquant aussi au cas où f(t) se réduit à une constante c, on aura

; à k Snne T ( ) lim Re Ta sin £ 2

Si maintenant la fonction décroissante f(t), au lieu de rester constamment positive depuis £ = o jusqu’à { — h, devenait négative dans une partie de l'intervalle ou dans l'intervalle tout entier, on pourrait choisir une constante c assez grande pour que la fonction c + f(t) ne cessât pas d’être positive, et par conséquent pour que le théorème lui fût applicable. On aurait alors

l sin nt, =

im | [e+f(e)] = Tfe + f(o)].

AU siné 2

En retranchant de cette équation l’équation (7), on retrouverait encore la formule (6).

Supposons enfin que la fonction f{£) soit croissante depuis t—0 jusqu à t— h. Alors — f(t) sera une fonction décroissante, ct, par suite,

L SLT 72 sin 7?

re 1 roc

SIN é sin FL

LE T 3 convergera vers la limite — — f (0), d’où l’on conclut que la for-

mule (6) est encore vraie pour le cas des/(t) croissante. Donc le théorème exprimé par l’équation (6) est vrai pour toute fonction f (4) assujettie à la condition de rester continue pour

toute valeur de t, depuis t = 0 jusquàèt—Ah=© £— eh déiplus ide

24 LIVRE VI. — CHAP. 11, $ rit.

rester, dans cet intervalle, toujours décroissante ou toujours croissante, à moins qu’elle ne conserve une valeur constante dans une partie ou dans la totalité de l’intervalle.

1187. Soit maintenant g un nombre compris entre o et h, et supposons que la fonction soit donnée seulement entre t=g ett—h, et qu’elle remplisse, dans cet intervalle, les mêmes conditions qu’elle devait remplir tout à l'heure entre o et L. L’inté-

grale k (8) ft)

sin 72

dt Sin £

convergera, pour z infiniment grand, vers une limite que l’on pourrait trouver directement en suivant la même marche que ci-dessus. Mais il est plus simple de ramener ce cas au précédent. La fonction f (t) n’étant donnée qu'entre get h, rien n'empêche de compléter la série de ses valeurs depuis = 0 jusqu'à 1 = g, en supposant que, dans cet intervalle, la fonction varie dans le même sens qu'entre g et h, ou, plus simplement, qu’elle reste constamment égale à sa valeur f (g) correspondante à {= g. Alors le théorème (6) sera applicable à chacune des deux intégrales

& sin z2t sin 24 [rte AL Prte dis & O

Sin é sind

à T FR er qui convergeront chacune vers cette valeur — f{g). Donc l'inté- 3}

grale (8), qui est la différence des deux précédentes, convergera, pour 7 infini, vers la valeur zéro.

Donc, Si 2 o et À sont deux nombres tels que l’on ait

D eo me Fm LA et si f(t) est une fonction continue et variant toujours dans le même sens depuis { = g jusqu’à t — h (à moins qu’elle ne reste constante dans une portion quelconque de cet intervalle), l'intégrale (8) tendra, pour n croissant à l'infini, vers la limite zéro, si g n’est pas

nul; mais pour g = o elle tendra vers la limite to): ; 3}

S1 la fonction f(t) présentait des solutions de continuité pour les valeurs t= 3, t—h, de sorte que, € étant un infiniment petit positif, f(g—e) et f(hk— €) n’eussent pas les mêmes limites respectives que f(g+e) et f(h+e), il faudrait remplacer, dans ce qui précède, f(o) par la' limite de f(+ €), que nous désignerons, pour abréger, par f (+ 0). Il n’y aurait, du reste, rien à changer,

pourvu que les valeurs de f(£) correspondantes aux discontinuités ne fussent pas infinies.

1188. Nous avons supposé jusqu'ici que la tonction f(£) ne présente, dans l'intervalle de {= g à t— h, aucune valeur singulière, c'est-à-dire qu'il n'y ait aucune valeur de t pour laquelle elle devienne discontinue ou qui corresponde à un maximum ou à un minimum de cette fonction.

Supposons maintenant que, entre g et h, il existe des valeurs t;, l2, +.., t qui correspondent à des discontinuités ou à des changements de sens de l'accroissement de f{t). Nous partagerons

k l'intégrale ÿ en intégrales partielles, prises chacune entre deux (e)

valeurs singulières consécutives :

É LS k Î + | +..+ f Vg £ t

Le Re 1 2 / T :

La première de ces intégrales a pour limite zéro ou GE o),sui-

vant que g sera ou non différent de zéro. Toutes les autres seront nulles, d'après le numéro précédent. Donc, enfin, le théorème démontré ci-dessus subsistera, quelle que soit la marche de la fonction f(t), pourvu que les valeurs singulières y soient en nombre fini et qu’ainsi la fonction soit intégrable.

1189. Nous pouvons maintenant passer à la détermination de la limite, pour m infini, de l’intégrale

1e PP sin(m<+t)(E —>x)

(1) Sas

- - des 2T sin, (£— x) F

En posant

Er = 27 1/4

l'intégrale deviendra

I ñ sin #24

— F(x+2t)-— dt, ” sin

intégrale de même forme que celle que nous venons d’étudier, à cela près que les limites sont différentes. Nous allons, par décomposition, la ramener à des intégrales dont les limites soient com-

ù : MT prises dans l'intervalle de o à =

1° Supposons d’abord o x <Z nr. On décomposera l'intégrale

va — TT —

Jen D

(4). On a d’abord, en vertu de la formule (6), pour la première intégrale,

; sin 72f

im À f° F(x+at) — dt = =F(x+o).

UR sin £ 2

n—= À T Pour x — 0, cette valeur se réduit à