SÉRIE ET INTÉGRALE DE FOURIER

1182. Les formules établies dans le paragraphe précédent permettent de développer en série périodique convergente toute fonction d’une variable complexe ou réelle qui est uniforme et continue dans la partie du plan comprise entre deux parallèles données, el qui a pour période une constante quelconque, pourvu que l’on connaisse toutes les valeurs de cette fonction dans l’étendue d’une période, valeurs au moyen desquelles on peut calculer avec une approximation indéfinie les intégrales qui déterminent les coefficients de la série.

Nous avons pu, par un choix convenable de variables, ramener à une forme entièrement réelle le développement d’une fonction réelle de la variable complexe z. Mais cette réduction a été obtenue en particularisant un développement de forme complexe, et elle est fondée sur l'intégration d’une fonction d’une variable complexe le long d’un contour donné. Elle ne peut donc s'appliquer qu'à une fonction F(p) pouvant être définie comme fonction d’une variable complexe rePi, ce qui n’est généralement possible que pour les fonctions analytiques.

Toutefois, Fourier a établi que les développements réels du paragraphe précédent sont susceptibles d’une grande extension, et peuvent s’appliquer à toute fonction, analytique ou non, F(x), péñiodique par rapport à la variable réelle p et définie par la seule connaissance de toutes ses valeurs dans l’étendue d’une période, pourvu que cette fonction satisfasse aux conditions suivantes :

1° Qu'elle soit susceptible d'intégration (!);

29 Qu'elle n'ait pas, dans l’étendue de la période, un nombre infini de maxima et de minima:

3° Que, dans le cas où sa valeur varie brusquement, elle prenne

(*) La définition que nous avons donnée [231 et suiv.] d’une intégrale définie ne pourrait plus s'appliquer au cas, par exemple, où la fonction à intégrer serait déterminée par la propriété de prendre une valeur constante « pour toute valeur rationnelle de la variable, et une valeur constante différente & pour toute valeur irrationnelle de cette même variable.

H.— Cours de Calcul infin., IV. 2

une valeur moyenne entre les valeurs-limites, prises de part et d’autre de la discontinuité.

Nous allons démontrer que, pour toute fonction F(x) sausfaisant à ces conditions, la formule (4) du paragraphe précédent subsiste, c’est-à-dire que l'expression

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