VI
DÉVELOPPEMENT DES FONCTIONS ELLIPTIQUES EN SÉRIES DE FONCTIONS PÉRIODIQUES.
1351. Les fonctions elliptiques snu, cnu, dnu ont pour infinis les valeurs de la forme
u—2mkR+{on+i)iK,
et la fonction tn u les valeurs de la forme u—={(2m+i)K+o2riK.
Il résulte de là que, si par deux infinis consécutifs, correspondants à des valeurs 7 71 et nr de l'indice 7, on mène deux parallèles à l'axe des x, la bande de largeur 2 K 7, comprise entre ces parallèles, ne contenant aucun infini de la fonction, celle-ci sera développable, dans l’intérieur de cette bande [ 1178}, en une série convergente, ordonnée suivant les puissances positives et négatives de l’exponentielle
Remarquons que la même série ne pourrait servir pour deux bandes consécutives. Mais on peut ramener le développement pour une bande quelconque au développement pour une bande donnée, correspondante à un multiple de 2:K’ moindre de » unités, en remplaçant w par u — 2v1K", ou x par x — 2vip, ce qui ne peut
changer que le signe de la fonction elliptique [1311 |.
1352. La fonction snu étant impaire et changeant de signe quand on remplace u par u + 2K, ou x par x +7, son dévelopement, qui sera convergent dans l’intérieur de la bande comprise CAT) gent dans l’int de la band rise entre les parallèles u = Æ : K’, aura nécessairement la forme sn « = FAN RURR NE es ne NEA
ca)
EY 24m Sn(2m+1)x.
On a [1180], en multipliant l'équation précédente par et27#+1)ix qu et intégrant,
1 pis lle shu CET mt 4K Î
Pour calculer cette intégrale, considérons l'intégrale prise le long du contour d’un rectangle ( fig. 105) ayant sa base sur l’axe des x,
Fig. 107.
deu—oàu—4K, et sa hauteur égale à un multiple pair de K’, les infinis situés sur les côtés verticaux étant évités suivant des demi-cercles, tous tournés dans le même sens. Ce contour contiendra ainsi dans son intérieur deux files verticales d’infinis, correspondantes aux abscisses 2K et 4K.
Les valeurs de la fonction snu, prises à la même hauteur sur les portions OC et AB du contour, sont respectivement égales, et il en est de même pour les valeurs de la fonction e-(2#+1)ix; donc les intégrales prises en parcourant ces deux chemins, l’un en sens contraire de l’autre, se détruiront mutuellement.
L'intégrale prise suivant BC pourra être supposée aussi petite que l’on voudra si l’on augmente indéfiniment la hauteur du rectangle. En effet, pour 7 assez grand, l'intégrale prise le long de BC,
4K TK [ sn(u +orik )etm#)(ixr2ne) y ÂK Jo
ik — e—?22(21+1)0 sn der re) 4K o
est évidemment infiniment petite pour ñ infiniment grand.
Donc l'intégrale prise le long du contour du rectangle se réduit à moins l'intégrale prise le long de la base OA, c’est-à-dire à la valeur du coefficient cherché &a,,.
Or l'intégrale prise le long du contour du rectangle est égale [1128] à la somme des résidus relatifs aux 27 infinis contenus dans l’intérieur du rectangle. Si nous considérons un de ces infimis, ayant pour coordonnées l’une des abscisses 2K ou 4K et l’ordonnée (2v—+1)K, en faisant
u — 2ukK + (2v —+- 1)éK'+ U, l'intégrale relative à cet infini sera égale [1 130! à
2rilimusn{2ukR +{(2v +r)iR'+ ujet22+Dilast (vi) nus,
Or on a[1289 et 1291]
sn[2ukK + 2 +i)iK'+u]=|(— 1esn(iK'+ De :
k sn u
donc l'expression précédente a pour valeur EU Peter
line ù 5 —0 SI1U k
Les autres facteurs se réduisant à (— r1)}*e-C#t0t#te, l'intégrale
sera égale à
Fo et221+1)(2%+1)6
Il faut maintenant sommer les intégrales appartenant à l’une des files et doubler le résultat, qui est, comme on voit, indépendant de #. La double somme, pour v infini, est égale à
ori 2e-(27+1)0 Ti I
Horereltrtt)e 0 CE Sh(om + 1)p
Donc la valeur du coefficient a, est
1 I ik Sh(2m ee
An —
et par suite on a, pour le développement cherché,
Le)
29 sin(2m—+i)x
Je Sh(2m+ip
H.— Cours de Calc. tnfin., WW. 16
