SR

1353. Par un calcul entièrement semblable, on obtiendra, entre les mêmes limites, le développement de la fonction cnu, qui a les même infinis que snu. Seulement, cnu étant une fonction paire et changeant de signe lorsqu'on augmente uw de 2K, son développement sera de la forme

Le]

(hi 1 7 ape | et APE UERE Cm cho le;

On trouvera ainsi

co]

21 cos(2m +i1)x

(2) CO U— = de à Ch(2m<+i)o

1354. La fonction dnu étant paire et ayant pour période réelle 2 K, son développement, entre les mêmes limites, sera de la forme

ce] = ; AUUBE —2mix dn ve ÿ am (e + e ) dl

ce]

= Le» > 24yn COS2MT.

En intégrant les deux membres de l’équation de o à 2K, on aura

d’abord

. 2 K e T do T = = } == 21 Ac = — = ÿ.

y — SR f au que FU ‘e PRET 1

On obtiendra les autres coefficients a» en intégrant après avoir multiplié par e?**, On trouvera de cette manière

Aer ne + Ch2mp et par suite f Le) COS2M.X (5 dnu = :| 1+2 ——— Ch2m0

1355. La fonction tnu a pour infinis les zéros de cnu, c’est-

DÉVELOPPEMENT EN SÉRIES PÉRIODIQUES. 243 à-dire [1293 | les valeurs

ua + 1)K + 2niK, ou Our. +1)

Le développement sera convergent entre les parallèles correspondantes à u—oet à u==21K’, excepté aux points (2m—+1)K de l’axe des x, qui sont des He de tnu. Ces points étant en même temps des infinis de tangx, on peut faire disparaître les infinis du développement, en considérant, au lieu de tn, la fonction

f(u)—tnu — a tangx,

la constante &ç étant déterminée de manière que le second membre s’annule toutes les fois que tnu et tangx deviennent simultanément infinis.

On a maintenant [1294]

vtn(K M9 VIRE v)=(— 1}"u tn(K “ u) : U Ur LU tic = tr}t ; | \ 1 kftnu “ls (— 11 :

dont la limite est - RE La somme des intégrales en question Ù sera donc Fe ; 27 Hi rene (— rt qi 1} au q .

: k! k. 7 1 2" Troyes qe i!

Donc s 27 . nt : mn 2° f dan = 7 (— 1)" q (— 1)" AE k 7 k Ch20 el, par suite, [2] { el \ Sin 2 1 TL { A (NIUE EE tan£g.r + 9, HINPER UE TERRE AL... DOES 4) k F Di 1) 7 Ch2mp 1356. On a de d'amu .

ne dou damais-dnz due Av dn x

En intégrant le développement (3) de dnu, on aura celui de la fonction amu :

(6) amu — x + DE : te,

m Ch2mo p.

24 4 LIVRE VI. — CHAP. 1V, $ Vi.

En différentiant les développements (1), (2), (3), on en tirera

ceux des produits

TRES cnu dnu, Snu dnu, Snu cnu — —sin2amu.

PA

4357. Si l’on chance, dans les formules précédentes. “en K —« <> a? Ï ) ,

FT , = æ en -— x, on aura les développements des fonctions

(ce)

29 cos (2 Leu (6) SNCu = — (— 1 PT CE NP Eee le, / Æ Sh(om +i)p Lee) à el Ve 21 > Sinon + Tir (7) CNCU = —— dm (1 ——— — , NON Ch(2m+i)s k' L Û NE COS2 121 (8) nca = Al 1-2 > (— 1)" a dnu Ch2m 0 Le C2 FU t I I re ( pm m SIN2MX [ | — — + (U)} HOUSE == }} 5) “| 0 = ——— 7 k'tnu tang x > 1 Ch2mp AE T ee \m sin2mx (10 AMCu = — à — NE ROUE 2 ME Ch2mp

I I En traitant les fonctions —; —— par les principes des n°1352 sn CA

et suivants, on trouvera

(ce)

; I I m+3 Sin(2m+i)x DNS RE sn & Sin æ Sh ( 2m +1)p L if) T m4 COS 2Mm—I) L (12) ——- +2Y(—:)"g PS4 re le cnu k£' | cosx Ch(2m a me

L3 T puis, en changeant x en = —

I dn x U cos(2m +i1)x 3 Res ae m+S OVER EE \s ) sncC 4 cn 4 4 RUE 1) 7 Sh(2m—+i )p Li dn x 1 I Ë m+1 sin(2m+i)x I AS — == DRE .

(14) encu k'snu -Æ'| sinx 22,1 Ch(2m +1)p

1358. Ces formules sont d'autant plus convergentes que le module À et la quantité g, qui en dépend, sont plus petits. Elles deviennent, au contraire, d’autant moins avantageuses que # et g sont plus voisins de l’unité, et, par suite, que et g' sont plus petits et P”’ plus grand. Il est facile de transformer ces développements en d’autres qui sont d’autant plus convergents que les premiers le sont moins.

On aura ainsi

Le) EN LR ET Sh2 mx (15) SN — — Three ÿ (—1)" pro l 6 Ch2 m1 0 ! Se Ch! ) r AD L 1 I m+ 1 2Mm+I1)x 46) cenu=———-|— Pa Era D ————— |:

eu'éx klChz dd Ch(2m +i1)p 1 3 Ch a!

I I eo m+ + DIN EI) TC (17) dn 4 — — — %! : 2 (— is / 2 ï / = |, snc’ ét Chx Sh(2m+i)p . 4 æ | £ ’ sn'ét 29 w Shlom+i)x (18) nu = — — — 5% ————— — ©) £ k" ét Shfom+i)p | x!

NES dn udx' 2 (e) (19) { Cl il > | M +— ; " (—1)"q" "2 Sh(2m+i)x!

— arctange* + 2 Ÿ ae li Cu) éd m+i Sh(am+i)o

et de même pour les autres formules.

1339. Cherchons maintenant les développements en séries des carrés des fonctions elliptiques.

S1 l’on élève au carré les deux membres de la formule (2) 1353], et que l’on pose, pour abréger, re Chpp° on aura

(ce) [ce] Va 2 (£ Vie ÿ > Pi Pam COS(2m + 1}æcos(2rm"+1)x 27 m m!