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[+] D: Pom Pomtsilcos(2m + 2m + 2)x + cos(2m — 2m')x]. m!

246 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ Vi.

Le terme constant du développement s’obtiendra en faisant, dans le second cosinus de la parenthèse, m = m’, ce qui donne

PL

EL 21°? I Fes 8 n° p (reg ) : 0

Calculons actuellement le coefficient a, de cos2nx.Les nombres

m, n' n'étant jamais négatifs, il faudra prendre pour termes de a, d’abord, parmi ceux qui multiplient le premier cosinus, les termes dans lesquels 2m+2n/+ 92 —on ou m—n—m 1, ce qui donnera la somme

nmn=n—îi1

. > Port Pon--2m—1m1 —=0 Or on a l'identité Sh5 EISha SRE x) CheCh{f—«) Che Ch(£—«) Cha — Sha Ch(B —x)— Sh{(B—«) Rs me ef NE PR TRUTE ea Cha Ch (5 — a.) a Cr

0 NN Ch Ch{5—c)

Donc a Por rt

1 | bass ND —IN— — I RACE q :

| — aus Sh27p 2Ch{2m—+i)p 2Ch{27 — 2 —1)p

En sommant cette expression depuis m = 0 jusqu'à m=—n—1, les sommes relatives aux deux derniers termes sont égales entre elles, et l’on aura, pour cette partie de a,,

(A) ee 2 Ger (2m - + 1)p j

Pour les termes qui multiplient le second cosinus, on devra prendre ceux pour lesquels m — m'est égal soit à + n, soit à — 7; les deux sommes ainsi obtenues étant identiques, il suffira de prendre l’une d’entre elles et de la doubler, ce qui donnera, pour

celte partie de a»,

Le]

; Pont) Pon+om+t :

nr

L'identité Sh 8 She *e Sh(ar ere er BU Cha Ch(x +8) Cha. Chla+B8) Ch« Char)

donne, pour cette somme, la valeur

1 il on HIDE ENT TE

(B) I a q æ D q \ Sh2720 | dy Cham +i)p mCh(2%+om+i)p 0 0

En réunissant les deux parties (A) et (B), on aura, pour la valeur du coefficient demandé,

1 1 m+— REMHES

2) I q g K q a+ S mn À Sh22p Sh2%p Ch{am--1)o æmCh(22+- 2m —+1)p 1 0

Or les deux sommes de la dernière parenthèse forment deux séries convergentes, composées de termes identiques chacun à chacun; donc elles se détruisent mutuellement, et il reste simplement