RE

et — l)tnu.

tnce

À ces formules on peut joindre celles qui donnent les fonctions elliptiques du double de l'argument v. On a, par les formules (24) du n° 1315,

cn? u — sn° u dn°? CR

dn?u — }?sn?ucn°u dn2u = ——— —————

1— A?sn'u

TRANSFORMATION DE LANDEN, æ a , S1 l’on pose, pour abréger,

Vi + dn2u = U,

2, BORNE MT. & Ve 7 Vdn2u+k=S,

fo es Dh EURE or ÿdn2u == RO LT

on aura, par les formules précédentes,

| Ÿ dn2r— —, cn2r —

Or on trouve facilement

1 I —(S+T}—=1+cn2u— —{(1— dnau), 4 = : {

à \ J =(S—T}}—=1—cn2u — — (1 — dn2w).

En mettant pour cn2u, dn 2u leurs valeurs en sn°?u, 1l vient

2(1 — k?sn°u)

I dn2u4 — sn 117 1 "sn z 2 k? (sn? u — sn'u) HONTE ERA RS :

TT 2 (x — sn?u) CODE 1 —##sn" 2 ( sn? u — k?sn*u ) 1 Co : .

n—'Asntx c/ G\ D'après cela, S + T V2.cn?x S —T V2.k'sn° © = — = —--—— , c ; /, / 9 J : Vi— #'sn'u : Vis 4

et par conséquent

cn? u + k'sn°?u C2 Sn 7 CPC RE dn° «x du” «

ou, sous une autre forme,

dn2r — cnu sncu + snu CnCu,

(14) cn29 — CNuUSNCU — SN CNC4.

3 ’ u : nr | 1365. Puisque — est constant, on aura, pouru=K, p== — (

Or les formules précédentes donnent, pour u = K, cne — 0, sans que la fonction env puisse s’évanouir pour une valeur de u com-

prise entre o et K, et, comme u et v croissent dans le même sens, BA