ÈS
devient, pour x > 0, Po
PA: sin 26 lim = Fix +or— ot) = dr 0:
LA
pour x = 0, cette valeur se change en
- F(2r — Oo}.
(eo) (y). Pour la troisième intégrale | , Si l’on change t en —#, il Ë
vient
WW | &
2 Sin 726 I lim — Fix—2t)—d—-F{x—o), 0 Sin £ 3)
RE) Te valeur qui, pour x = o, doit être remplacée par zéro Donc, pour x > 0, l'intégrale aura pour valeur
Lo)
) pour x — 0, elle deviendra
2° Si l’on a rx << 27, en remplaçant x par 27 — x, t par — t, l'intégrale deviendra, pour o <'x'<[7,
D 0 I É sin 724 : Far — x —2t) —— dt, Tr c! Sin £
et, en décomposant cette intégrale comme dans le cas précédent, on trouvera, pour les trois parties :
(æ). + F(27—x/— 0) —{F{(x—0o) pour x<27,et5F(27-—0) HORDE = NT:
(B). La valeur zéro pour x<< 27, et iF(+o)pourx—2t;
(EME OP DOUrT CE 2 Tr CLIZCIOIPOUL L — 27.
Donc, pour x<< 27, l'intégrale a encore pour valeur
28 LIVRE VI. — CHAP. Il, $ III.
el, pour x = 2T, F(+<o)+F(2r —0o) D
3° Pour x de grandeur quelconque, on ramènera sa valeur entre les limites o et 27 par l’addition ou la soustraction d’un mulüuple convenable de 27, ce qui n’altère ni la fonction F(x), qui est supposée périodique et de période 27, ni la série limite de l’in tégrale.
1190. Donc, quelque valeur que l’on donne à +, la série trigonométrique
(9) { k A 2 27T il nd ve » \ Ue a + [cor f F(Ë)cos£d£é + cos2x [ F(E) cos2£ dE +... | T | 0 © 0 27T 207 ] Q , e a A . Le ® Le | +: [sine f F(EË) sin£ dŒ + sin2x F(£)sin2ë dë +. | \ de o © O
aura pour valeur F(x) si cette fonction est continue dans le voi- ‘ I 5 sinage de la valeur x, et >. [F(x—o)+F(x+o)] si x est une
valeur de discontinuité de F(x). Il en sera encore de même pour x = 0, puisque l’on peut, en vertu de la périodicité, remplacer F(27—0o)par F(—o).
Sicdonc on donne à FX), entre T—0 et 721, Unes arbitraire de valeurs, représentable par un arc de courbe de forme quelconque, pourvu qu'il soit composé de parties continues et que les discontinuités, ainsi que les maxima et minima, ÿ soient en nombre fini, la série (0) représentera l’ordonnée de cet arc entre les abscisses o et 27, et, en dehors de ces limites, elle représentera une suite, indéfinie dans les deux sens, d’arcs identiques au premier. Seulement, pour chaque point de rupture de la courbe, la série représentera la moyenne arithmétique des deux ordonnées correspondantes à ce point.
La série (9) étant de même forme que la série (4) du n° 1175, on pourra, par un changement de variable combiné avec un chansement d’origine, lui faire subir les transformations réelles que nous avons exposées dans le paragraphe précédent, et y remplacer ainsi la période 27 par une période réelle arbitraire /, puis les limites o et / par d’autres limites quelconques — {6 et /— 4.
1191. Donnons quelques exemples d’applications de la série de Fourier.
I. Soit F{x)=— cosux. Cette fonction étant paire, le développement ne contiendra que des cosinus [1174]. Si l’on suppose la fonction donnée entre x = — r et x =+ 7, le coefficient &, du développement [1175 | aura pour valeur [ 449]
PRE [ COS 5 cos 72 Ë dE == 2 f COS LS cos 72 Ë dE [e)
T Te
IRC
2u SINUTCOS7T ,
