D LS | V
AP DITLEUERZ — ; jusqu'à z — w , chacun des deux radicaux Vi— 2°, Vi— A2? ayant été muluüplhié par z, leur quotient sera réel et positif, et 1l en sera de même de l'élément de l'intégrale
el par suite de l'intégrale elle-même.
Si maintenant, du centre O avec un rayon infiniment grand R, on décrit un quart de cercle allant de l’axe des x positifs à l'axe des y positifs, l'intégrale devient, pour z = Re’,
T R de ele: DRE EN PRET:
ù Re? — ; SC |
Enfin l'intégrale prise depuis ic jusqu’à o sera
TH Ar se 7 fa R SAN on
En égalant à zéro l’intégrale prise le long du contour total du quart de cercle, dont l'aire ne contient aucun point de ramification, on aura l'égalité
E+i{(K'—E)+f?+kR(i—1)— ik —o, qui se décompose dans les deux suivantes :
ESS ER = Oo RE EP AR 4 —0:
Le terme f? étant positif, —ÆR doit être négatif, et, par suite, + kR doit être positif dans la seconde égalité. Donc l'intégrale
0 FE + ke? y? : À , . , £ : AT .
dy \/ ———; doit être négative, comme il était aisé de le voir He
a priori, et elle est infinie avec KR.
pie mlinst On a donc enfin, pour l'intégrale prise de : à + 7° Suivant le
chemin indiqué, E —- i(K'— E’ js H. — Cours de Calc. infinit., IV. 18
Donc l'intégrale prise le long du second contour élémentaire sera
Si l’on ajoute maintenant aux parcours répétés des quatre contours élémentaires un chemin rectiligne, et que s soit lintégrale prise le long de ce chemin, lorsque les deux radicaux /1— 2?, V1 — k? 7° partent de O avec la valeur + 1, la valeur générale de
l'intégrale E{®) ou elu sera elu—=2{m+n)E +omi(K'—E )+{(—i)"+2, ou, si l’on remplace m+ 7 par y, n par »,
elu —2uE + 2vi(K'— E')+(—:1)rv.
1376. D’après la définition, on a
c) ul (1) el = syd= [ dn° x du.
On en üre aisément | 1308]
Que ? sin?o 13 e | SH due il - do —=u—elu, Ac :
° SE *? cos? A.
(5) 4° COM UMA ET dy —elu — k'?u, 9 0 29 pi ? tance? o (4) | tn? du — ue | HAL do — tnudnu — elu.
Si l’on change uw en iu, on a [1319]
U An’ ir l . = el(iu)= An? iu du =[ de — [+ : —— cn°?u Vli— 2? NT 2)
in dz APE 5. 0 h—2)Vh—2)(i 422) z?}(1— 42?) Vli—z*)(1— #27 LE
Or on déduit facilement, de la formule (1) du n° 1306,
u dut ef — tn'u dn’u + Lu — el'u.
Le)
Qt
(5) — eléu = u — el! u + tn'zdn'4.
1377. Le théorème d’addition pour les intégrales de seconde espèce. — Reprenons les notations du n° 827, V, et posons, de
plus, Elo)+E(y)=U.
On en tre, en différentiant,
(6) A9 do + AA AU;
équation à laquelle il faut Joindre la suivante : do' d; ARS ar
ou
Ay do + Aody = 0.
Cette équation, ajoutée à l'équation (6), donne dU — (AS + Ay) (do + Hole
On a d’ailleurs, en posant © + y —p,
Ao + Ay—Bsinp, où B—
donc dU = B sinpdp, d’où Ù = — B cosp + C, c’est-à-dire AG LT
PAPERS cos(y + x) + C.
sin ç
Pour déterminer la constante C, faisons 6 — o, d'où y = 6, et, par suite,
AT HIT E(c)—=— : cosc + C.
Sin On en tire, par soustraction, AG +1 F E(o)+E(x) — Elo) = — da [cos(p + x) — cosc|, (’}
ou, en vertu de la relation trouvée au n° 827,
AT HI E!: Hay 7 . — ee = ; . , / a ï E(9)+E(x)—E(s)= —— sinysinx(1— Ac) ou enfin E(o)+E{z)—E(c) — 4?sinysinysino, c'est-à-dire (7) elu + els — elfu + v) — ?snusne snlu +e),
Si l’on suppose u+v—=kK, il vient alors
d É sn u CN Fret el{K = u) — E — /’snu sncu — #4? RP nu
1378. L’équation (3) conduit immédiatement au théorème de Fagnano [746]. Si l’on désigne, en effet, par asino, b coso les
Fig. 108.
coordonnées du point M’ {fig.108), et par asiny, b cosy celles du point M; si, de plus, on pose
g Ami) y amis"), k étant égal à l’excentricité de l’ellipse, on aura, pour p = K — u,
k? sin o coso Efr) PERS ; à c’est-à-dire al? sin ? COS ® ——— )
BM'— AM —
expression égale à —} ou à MT, si l’on a pris p= v.
1379. Le théorème d’addition permet d’exprimer, à l’aide de fonctions d’arguments réels, une intégrale de seconde espèce ayant un argument complexe uw +iv. On a, en effet, par la for-
mule (7),
el(u + à)— elu + el — Æ?snusnivsn(u + iv), ou, en ayant égard aux formules du n° 1376,
el{u + iv) = elu + fo — el'v + inv dn'v) (a) en « dnu sn'u en'u — sn dn’e
+ ?snutn've ——— ————— :
-dn zn v
1580. Des formules (23) du n° 1349 on tire, en différenuiant,
Le]
COS272T AD Shane D: log3(x)— = DuZ(u).
Substituant cette valeur dans la formule (24) du n° 1364, il vient
co
> Ch?220 ci à AA
An tn (io Si l’on intègre à parur de u — 0, on en tire 9 ï 27 | elu—"u tr 2 —— | + n° Z{u).
Ch?2x 9
En faisant, dans les deux membres, u = K, l’équation devient
(10) Lt ye KR ÉD eee
d’où, en éliminant la somme infinie entre ces deux équations, et
Te ; mettant pour n sa valeur nl on conclut la formule
E E (11) elu — getZ(u)=gu+aDilogs(x).
1381. 7héorème de Legendre sur les intégrales complètes de
première et de seconde espèce. — Considérons les intégrales ? do | Fe F il Fo ETAPE (e) 0
comme des fonctions des deux variables indépendantes pet. Si nous différentions F(0) par rapport à #, on aura
De DeF(#)= | + M RNA
Or la formule (2) du n° 1306 donne, en y faisant 4 = 1 et remar-
quant que l’on a
do CPE # Ste us — dp |" — + 4 , A 0 : \Ao A°%
; I k Sins cos»
M ne mel Tr meer
la relation
On a ensuite, de la même manière,
I Hot DE(o)=—>©F(p)+2E(r).
Faisant, dans ces deux dernières équations, 9 — =; on a les deux Lou
relations
K E K E DIRE E. 22 DEP EEn (12) À à rs & Kk?? & k : à
Les quantités k, K étant liées par l’équation
il en résulte
et par suite, f désignant une fonction quelconque, ! Â f Dxf (4) = — ge Def (re JE
D'après cela, si dans les formules (12) on change en
aura les valeurs de D,,K’, D;,E’, et par conséquent celles de
kK' E’ RÉ N AE jh j'te
Si, au moyen des valeurs (1) et (2), on forme la dérivée de
l'expression
