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280 LIVRE VI, — CHAP. IV, $ VIul.

1382. Calcul numérique des intégrales elliptiques de seconde espèce. — On pourrait appliquer au calcul de ces intégrales la méthode des transformations modulaires dont nous avons fait usage pour calculer les intégrales de première espèce. On trouvera les détails de cette application dans les Traités de Gudermann et de Schellbach. Nous nous contenterons ici de rappeler les procédés que nous avons indiqués dans ce qui précède, et qui sont suffisants dans la pratique.

On commencera par calculer, par un des procédés exposés plus haut, les valeurs des intégrales K, K’, x et des constantes gq, g'. On déterminera ensuite la valeur de l’une des intégrales complètes E, E’, en prenant de préférence celle qui répond au plus petit des modules #, À’, et se servant de la série indiquée à la fin du n° 459. En posant ainsi, dans le cas où À <<’,

R=Ssin 0 ti="tans 4 == Fm:

5 1 + 4 on aura

L ) [1 al I (r — RSR — CUS — | T + (5) 6e Er | | Le (: me4.. | ' 5) VAE 2

d’où, en ne conservant que le terme constant,

Au= cost 2 | + (ir does :

et, en intégrant de o à —; 1l viendra

: : T Fe M0 Puisqu’on peut toujours supposer Fe la quantité tang' —, :

par SRROEs à laquelle la série est ordonnée, sera, dans ce cas, LA 53 et par suite la série sera très-conve rgente.

Si la série qui donne la plus grande des intégrales E, E est trop peu convergente, on pourra alors tirer cette intégrale de la formule de Legendre, établie au numéro précédent.

On pourrait calculer de la même manière l'intégrale d'amplitude

ECONDE ESPÈCE. 281

quelconque E{®), dont le développement serait semblable à celui que nous avons donné pour F(0)au n° 455, et où entrent directe-

ment l’amplitude et le module donnés.

Mais, lorsqu'on a déjà obtenu « et K

ou g,1lest plus simple de

calculer E et E(o)=— elu par les formules du n° 1380,

ce]

E HA fe T UN Do.

E elu = :- u + “Ta Dolos tr)

auxquelles on peut toujours donner une forme, très-convergente.

Exemple. — Si l'on prend, comme au n° 1373,

de O0 ATCSiN = 01 0,

les formules précédentes donneront

E lg 1102000, = IRiI0I puis E D,S{:r) K U—= 0,89340, 1 NT ‘ = 0,15736, d’où

élues 0bo70:

SALXE

1383. Nous avons vu [1308] que la forme générale des intégrales

de troisième espèce peut se ramener à ce

Ile-ci,

1 do NS rer (9)

ou, en posant 9 — amu,

{ # du Hama, nr)— Er 1 + 2 S0° 4

le module étant toujours représenté par la lettre #, à moins d’indication contraire.

Si l’on fait sing = snu = z, l'intégrale deviendra alors

: \ : dz I{arcsinz, 2) — RL ant 1e Jo (1+nz)y{i—z)(1 —k?2?)

et sous cette forme on voit que la fonction sous le signe fa trois

. 4,5 : - . I - = couples de points critiques, savoir les points Ær, E 7» qui lui ;

sont communs avec les fonctions correspondantes aux intégrales de première et de seconde espèce, et qui, tous les quatre, sont à la fois des infinis et des points de ramification de cette fonction, et

les deux points + Ve qui sont simplement des infinis. /l

En considéranties intégrales prises le long des contours élémentaires qui entourent ces six points, on trouvera d'abord, pour les quatre premiers, des résultats semblables à ceux que nous avons rencontrés dans l'étude des intégrales de première espèce, ce qui donnera, pour l'intégrale, deux périodes, correspondant l’une aux

contours (1), l’autre aux contours c 2 Les deux autres

points critiques = jouiront des mêmes propriétés que

nr PE UT ae ceux de l'intégrale | ——— [1257].

Nous engageons le lecteur à reprendre sur l'intégrale IT tous les calculs que nous avons développés dans le Chapitre précédent, en traitant des intégrales

[ dz RTE fe dz es Co) —— Pt DR a A les ee

On voit ainsi que l'intégrale IT à trois périodes. On pourrait,

d’après cela, être entraîné par l’analogie à en conclure l’existence d’une fonction triplement périodique, inverse de cette intégrale. Mais Jacobi a fait voir (!) qu’on ne peut introduire dans l’Analyse

(‘) De functionibus duarum variabilium quadrupliciter periodicis (Journal de Crelle, t. XII).

des fonctions périodiques d’une seule variable à plus de deux périodes, et nous renverrons, pour ces recherches, au Mémoire de Jacobi1 et à celui de Rosenhain GE

1384. Les propriétés de l'intégrale IT dépendent principalement de la situation relative des trois couples de points critiques Ær,

I L re :

D PE sa /— —. Nous avons déjà vu que l’on peut toujours ra- "4 /È

mener l'intégrale au cas où la constante Æ est réelle et numériquement moindre que l’unité. Nous verrons bientôt aussi [1392] que le cas de 7 complexe peut toujours se réduire à celui de n réel.

Cela posé, en ne considérant qu'un seul point de chaque couple, on verra que, suivant que l’on se trouvera dans l’un ou l’autre de quatre cas,

(a) —D<nE— 1, (2) —1<n<—i, (3) a er

(4) one +E,

représentés par la fig. 109, le point critique ——— occupera, par

Fig. 109.

rapport aux deux autres, les positions correspondantes indiquées

par la fig. 110.

Quand le point —— coïncide avec un des deux autres, nous V— 7

(*) Sur les fonctions de deux variables et à quatre périodes (Mémoires de l’Institut de France, Savants étrangers, t. XI, p. 376; 1851).

avons vu [1306] que l’intégrale IT se ramène aux intégrales des

Fig. 110.

id (4)+ | +1 2 CRE AR PTE pe — 1 ——“#< :

0 tf} (3) Z

deux premières espèces, en vertu des formules

4] , du le sn 4 dnu a |- — = A?u — elu + — ue cn? en 4 red u sn a Cnu Re el n —"%? = + du? dn «

Pourr—t0 di 7.

Pour n =, nIl a pour limite [ 1306, 2°] du en u dnu —— = u — elu — ————.

SI DILUCL 1385. Si n parcourt l’axe des x, de — x à + , alors, dans le passage de l’une à l’autre des régions indiquées par les n°° (1), (2),

(a (4) sur la fig. 100; le produit N=a(r+i)(r +),

que l’on pourraitappeler le z2ombre caractéristique de l'intégraleTT, changera chaque fois de signe. Nous verrons que du signe de N dépendent les propriétés fondamentales de l'intégrale.

D'après cela, nous diviserons les intégrales elliptiques de troisième espèce et de paramètre réel en deux classes : la première, correspondante aux valeurs négatives de N, et par suite aux cas où le paramètre 2 satisfait à l’un des deux systèmes d’inégalités

(1) CT UT, (3) re 2 0

sera dite la classe des intégrales à paramètre logarithmique ; la

seconde, pour laquelle on a N > o et l’un des systèmes d’inégalités

(2) — 1 n L— }?, (4) OT TL + D

sera dite la classe des intégrales à paramètre circulaire. Nous donnerons bientôt la raison de ces dénominations [1390 |.

S1 l’on désigne par & un argument réel, que l’on pourra toujours supposer compris entre — 2K et + 2K ou entre —2K'et + 2 K’, les nombres compris respectivement dans les quatre intervalles (1), (2), (3), (4) de la jig. 109 pourront être représentés par les expressions

D OA SI doll ti 0.

snc? a

Donc la première classe comprendra les intégrales des deux formes

We du É° du D ? > > 9 2 sn? & PK snTasnez I — sn SC æ

O et la seconde classe les intégrales des deux formes />

du f a du LAS dn'?asn°? JO À 2tn 24 sn?x

1386. Outre les intégrales de la forme

un dut == 1 1H 2 sn? AS 1

la troisième espèce d’intégrales elliptiques comprend encore d’autres intégrales, liées aux premières par des relations simples, savoir les intégrales

u sn?r du \ peus —= -(u—1I),

I + 2 Sn° 4 2 vu cn?udu u I ee D MR ne moe Lei vo M Lea mo 1+ 2Sn°u 72 ñ 4 An?u du k2u k?

nn — + (i1+ — | TH, Jo "Liz Sn 7i n

dont chacune se partage en deux classes de la même manière

que IE

1387. Les périodes des intégrales de troisième espèce qui ré- ; Fe I er pondent aux points critiques mi ais T sont, comme pour les inté-

grales de première et de seconde espèce, des multiples des inté-

grales complètes

7 EN 4 K dut à k du a — = , Y£ D REC DO. 0 1 —- 72 SN° 4 à 1 ++ ZA SN° «4

Les périodes relatives aux points + auront pour valeur, = Vi

au signe près, la valeur, pour z — Paurs de l’expression SAC

ee I I rn D 74 LI RE ER ( = VN

N désignant le même produit qu’au n° 1385. Cette période est donc imaginaire pour les intégrales de la première classe, réelle pour celles de la seconde.

1388. Si l’on changeueniu,ona

Tru ) re du en? du o 1+Aasnixu : 1—ntn2u — 1 — TR NC

‘à . ua du = He ES — n +1 1—(2+1)sn'?x +

c'est-à-dire

I{am'u, — n—1, #). 2 +I nn +Ii