IL AMI M, NE
L'intégrale se change donc en une autre, de module complémentaire et de paramètre — 7 — 1.
Le nombre caractéristique de la nouvelle intégrale, de module 4", élant égal à — n(r+i)(r +4?)
celte intégrale n'appartiendra pas à la même classe que la première [T(amu, n, k).
1389. Z'hcorème d’addition pour les intégrales elliptiques de
Soient [l(v,n), IL(y, 7) deux intégrales de même module et de même paramètre, et posons
troisième espéce.
(x) No, 2)+1{y, 2) =U,
d’où de d'y (1 + 2 sin?o) Ap (1 + 2 sin?y) Ay
S1 la somme des intégrales de première espèce d’amplitudes +, y doit être constante, on a alors
do d:
2 — —+ “ee = 10) À Av A7 d’où, en éliminant dy, n{sin?y — sin?v) do
Abe
Or nous avons trouvé [1381 |, pour les intégrales de seconde espèce, la formule d’addition Elo)+E{x) — E{o) — 4?sins sinysiny, d'ou l’on tire, & étant constant, Ao do + Aydy = Æ?sinc.d{sins sinz), ou, en éliminant encore dy au moyen de l’équation (2),
A?m — A?- ; Nr dd:
SR Ne do = A?(sin?y — sin°o) —,
— Asinc.d{sinysiny) — re A9
et, par suite,
ñn sins.d{sinssin}) EE ina Gore int!
1 + 2(sin?y + sin°Y) + x? sin? sin° 4
On a d’ailleurs, par la formule d’addition des intégrales de première espèce [ 827, V|,
(coss + sin siny Ac) = cos? cos? y — 1 — (sin?o + sin*x) + sin?o sin? y,
d'où, en éliminant sin? + sin?y, et posant, pour abréger,
SIN © SM — ts
on tire n Sinc dt
di :
1+ Sins — 24 COS As.t + nr + A?sin°c)t On a, par conséquent, I(y, 2) +il(z,z) — f'dU + const.
Si l’on suppose maintenant ç = 0, il en résultera nv, n) 0,07 06 me 0;
Donc, en intégrant à partir de 6 —o ou de £— 0, la constante d'intégration sera égale à IT(o, 7). Donc
5) Lg) non) nn) | AA ÈE
ou
; sn & Su f Hama, 2) + H{ame, 2) — Hfam(u+v), x] il dU.
1390. La nature de cette intégrale dépend de celle des racines du dénominateur de dU, c’est-à-dire du signe de l'expression
(a cosc Ac) —{1+ nsinc)na(n + 4*sin?c)
— — sin?o.n(nr +i)(r +4?) —=—N\sin?c.
Le dénominateur de Ü sera donc décomposable en facteurs réels ou en facteurs complexes suivant que N sera négatif ou positif, c'est-à-dire suivant que le paramètre 7 appartiendra à la première classe ou à la seconde.
Donc, si les intégrales IT(o, 7), I(%,7) sont de la première classe, le second membre de la formule d’addition (3) s’exprimera sous forme réelle au moyen de la fonction Arg Th, ou, ce qui revient au même, au moyen des logarithmes. Si les intégrales sont de la seconde classe, le second membre s’exprimera par un arc tansente. De là les noms de paramètre logarithmique où de paramètre circulaire, attribués respectivement, dans ces deux cas, à la constante 72. |
On trouve, en effectuant les calculs, pour la première classe, I Vÿ— N.sinosinysins
= es Arg Th - , V—N
I L] G) L - Sin sin ® Sin y COS c AT n
et pour la seconde classe,
VN.sinssinysins
=== aretane .
I ee vN — + sin?o + siny Siny COSc AG
1391. Relation entre des intégrales de troisième espèce de méme amplitude et de paramètres différents. — Si l’on difrérentie l'expression
Sin COS AE g sin?v ) A9”
(ÉfMESS,
ce qui donnera
{ Me) à 2 Qan#t .2 «in 1—(92+ g)sin?o +{1+2g)4?sinto — gk?sin 9 dy
1211028 “mes APTE ra (ue 21 sin" 6 AT A9
on en tirera, étant, comme g, une constante indéterminée,
1 + An?
PAR Pi—{2+g)sin o+ii+2g)k?sin?o — 94?sinfo do ) je (1 + g sin) A?o + Asin?y cos’? A®
À j OT d Les deux termes de la fraction qui multiplie ©, dans le second A9 membre, sont deux polynômes du troisième degré chacun par rap- ; s ml port à sin?0. En remarquant que la fraction se réduirait à — pour œ
sin?o — + , on en conclut que cette fraction peut se décomposer en fractions simples, sous la forme A A’ A” +: * 9 > PERS ce ne Qui” 1 + 72 SIN © 1517 Sin” 9 1+7n Sin” 9
(2) fe
et l'équation (1) devient
% div J / ' ! A’! 72 (3) Mare dr mel AL Cr SCA RATER My, 2°).
H. — Cours de Calcul infin., VV. 10)
290 LIVRE VI — CHAP. IV, $ 1x.
Cette équation contient les huit constantes 5 À, za, fe TE À, A’, A,
liées entre elles par six relations, savoir, les trois relations obtenues en identifiant le polynôme
(1 + g sin?o)? A? + X sin°o cos?
avec le produit (1 msin?o)(i+ n'sin?o)(r + 7"sino),
et les trois autres qui déterminent les coefficients À, A’, A7. On peut donc se donner à volonté deux de ces constantes et déterminer par leur moyen les six autres.
Supposons que l’on ait choisi d'avance les deux paramètres », n',et que ces paramètres aient ou des valeurs réelles ou des valeurs complexes conjuguées, de sorte que leur somme et leur produit soient des quantités réelles. On trouvera alors, pour les autres constantes g, , n°”, des valeurs réelles, par la résolution des équa-
tions | 29+h— R=n+nr+n",
2 7 EP) ee. / / 24 o — 29k nn +(na+n')n à
mo innine
En ajoutant ces équations après les avoir multipliées 1° par 5, 1/1, 2OHDATI Ve RLIONIONEITe
5 (g +1Pk = {n+i)(r +i)(r" +1), (6) RU nr EU) (nee) mr
S1 l’on déduit de la dernière équation (4) la valeur de
(Ti in ,
nn
et qu'on la substitue dans (5), l'équation deviendra (S) g?[rn! + k?(n + n' + 1)] + 224 "?7n — an'(nr' + n Eine Lee
On voit aisément que les valeurs de g fournies par cette équation sont réelles quand » et n’ sont deux quantités complexes conju-
INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE TROISIÈME ESPÈCE. 291 guées. On trouve, en effet, pour la quantité sous le radical dans l'expression de g,
k'trn+ nn{nan+nr+n + kR][ner + P(n+n +) = nn(n+i)(r +i)(r + Æ2){n + k)= NN,
N et N'étant les nombres caractéristiques [1385 | des deux paramètres 2, n', et ce produit est posilif, si les deux nombres nn’ et
; n+n'\? LE FR sont positifs.
Connaissant g, on aura n°” par l'équation (7) et 2 par l'équation
rer nt en ton 1 GO Ant
On a ensuite Hate t(r+aegi(r+sgk)
