TAUPE

d’où l’on déduit les valeurs de A’ et de A’ par des permutafions d’accents.

1392. Dans le cas où 2 et x! sont deux quantités complexes conjuguées, les valeurs de g, h, n” étant réelles, on voit que l’équation (3) donne pour la somme

< ATI(o, 2) + A'I(», n') une valeur réelle

dé dw LI [/ !/ JS Er) arn(ev) [e] le]

dans laquelle entre une intégrale de troisième espèce à paramètre réel. En substituant successivement, pour g,h, n°, À, A’, A”, les deux systèmes de valeurs de ces quantités qui correspondent aux deux racines de l’équation (8), on aura deux équations de la forme

d’où l’on tirera pour IT{o, 2) et IL(, #') des valeurs exprimées au moyen de deux intégrales à paramètres réels [IT (0, 7,), IL(, n°).

On peut donc, dans tous les cas, ramener une intégrale à paramètre

292 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ 1x.

complexe à des intégrales à paramètre réel, ainsi que nous l’avions

annoncé | 1384].

Dans le cas particulier où l’on a nn +n+n+/—o,

l’une des racines g, de l’équation (8) est nulle, et il vient

" HN 0) = nn

Si l’on fait

HER LEON NRC

on trouvera, en reprenant directement les calculs, à partir de l’équation (1), dans l'hypothèse de 3 — 0,

A u+ + (2%?coss — per!” EVA RE ex?) ?

et la seconde équation (10) sera remplacée par l'équation

72 s (11) A,ll(v,7) + Allo, zx) = — PAR) AE LE ee

1393. Nous avons établi [1350] la relation identique

Ua TS la re) sé th sn?u (SN PSS sn? a

On en tire, en la différentiant logarithmiquement,

D, sn? x

D, log$, (a + x) — D, logSi(x — x) — 2D, logè (x) — sn? x — sn?a”

d'où, en permutant entre eux a et u, et remarquant que la fonc-

tion 5, estimpaire, D, logS$, (x + «) + DilogS, (x — x) — 2D,logS (x) — Da sn’a

sn? a — sn? x?

par suite, à cause des égalités

D.logS,(x+a)—=D,logs;(r—«), Dlog3(x—«) = —D,logs, (x —«), on a

D, sn°?a sn? — sn°?a

D, log 5, (x + &) — D, log3, {x — &) — 2D, logS(a) —

On tire de là, en intégrant par rapport à x,

dna f# du I ire) es. 1e nil), dog — 10g — ( in & sn? 4 CANeLE 2 SS(x —«) sn? a

expression des intégrales dont le paramètre est logarithmique et compris entre — 1 et — , en fonction des quantités logs, et de leurs dérivées.

1394. Nous avons encore démontré [1350] la formule

PS ont) : —1— #*sn?a sn°u, \

[CS {a)F TS (x)T d’où l’on tire, en raisonnant comme au numéro précédent,

eo

[42 9 9 sn? x du I ,) Æsnacnadna Eee er D l06 + (alor LD 1—4?sn?a sn?u : D .

Le premier membre de cette équation est l'intégrale que Jacobi a choisie comme type des intégrales de troisième espèce et qu'il a désignée par [L{w, a). Pour éviter toute confusion avec la notation de Legendre, dont nous nous sommes servi jusqu'ici, nous désignerons, avec Gudermann, l'intégrale (2) par le symbole

sn? « du

[22 (3) $(u,a)—= #?snacna dna > or An id Sn

Suivant le langace adopté par Jacobi, la constante a est dite le gag P , paramètre de l'intégrale, tandis que, d’après la terminologie de Legendre, le paramètre est — k?sn?a.

En comparant l'expression précédente avec l’intégrale corres- P P P 5 pondante de Legendre, on aurait

102 Ye CRE (4) AOIET le u + I(amu, — 4? sn°?a)], n Ur b5 n(pn)=F(e)+ 2 6] r(#) F ('arcsin )| V—\ À

La formule (2) donne le développement en série des intégrales de troisième espèce à paramètre logarithmique compris entre — #2?

294 LIVRE VI. — CHAP. 1V, $ 1x.

et o, comme la formule (1) donne le développement des intégrales dont le paramètre est compris entre —@ et —1. Si l’on a égard à la formule (11) du n° 1380, la valeur (2) de

$(u, a) pourra encore s’écrire sous la forme

E I Sr + x (6) Sa a)=u(de Te) — og Ee

1395. Il est maintenant facile de passer au développement des intégrales à paramètre circulaire, les différentes formes d’intégrales de troisième espèce pouvant se déduire les unes des autres par les substitutions qui transforment les unes dans les autres les quantités

RE ULRE jru dn vu, 7 Sn 4 7e tn/° a, SshC° & SR RE QE indiquées [1389 | comme représentant le paramètre

n dans les quatre cas qui peuvent se produire.

S1 l’on remplace a par a K + :K", Asna se change en : sc «

et l'intégrale (3), relative au troisième intervalle [1384], se change dans l'intégrale relative au premier, c’est-à-dire dans l’autre type (1) d’intégrales à paramètre logarithmique :

dnca MSN 2 du I 9,(x + 0) = S(1) ES 2 “ ES à Re | — — a —— Ne (7) (, &) inc & 1 snc'a— su Delog#a[e) 3) NE Re

Si l’on change actuellement, dans les formules (2) et (7), a en a, on aura les formules qui représenteront les deux sortes d’intégrales à paramètre circulaire :

k? dn'atn'a te sn? x du S ( u, a) se - [0]

cn? @ 1 + 4'?tn'?a sn?

ù “A a) ; I JE SE Ci = — x. D,S (ia) + x ce . 1 sn? u du D NU CO “sac adn'a f| es Dodo TA (9) VAR I à («L'7@ — — x,D,log$, (ia) — — 109 ————.

PNA a enr)

INTÉGRALES ELLIPTIQUES DE TROISIÈME ESPÈCE. 295 1396. On pourrait traiter de la même manière les intégrales des trois autres formes

du cn? 4 du dn°? x du RTE 5 p) RAS NS D CURE n° eL7Snz4 1 7 lit IS 7 Sn

On partirait du cas où le paramètre est représenté par —k?sn°? a,

et, en multipliant ces intégrales respectivement par les facteurs

dn a £ snacna —) dnatna,

pb} tn & dna

on obuendrait pour chacune quatre formules, dont les seconds £ $ x I AE + a)

membres contiendraient le même second terme - log 5 a: ou A) CL —

ceux qui s’en déduisent, et des premiers termes semblables, au

changement près de l'indice du $.

1397. Les seconds membres des formules obtenues de cette manière admettent, comme nous l’avons vu dans le $ V de ce Chapitre, des développements rapidement convergents pour toutes les valeurs du module.

On peut, dans le cas des formules (7), (8), (9), augmenter encore la convergence, lorsque l’argument a du paramètre est plus

K ie à : :

grand que — ou —; en introduisant, au lieu de cet argument, son 2 2 | complément K— a ou K'— a.

On a encore, entre les intégrales (3), (7), (8), (9), les relations

AMMTA = NTANT

UC) = ë S(u, a +iK'), è

Guard)

1398. Donnons encore quelques formules relatives à la forme (3) de l’intégrale de troisième espèce, en laissant au lecteur le soin de les étendre aux autres formes.

Si l’on échange entre elles les lettres w et a dans la formule (6), on trouve, à cause de $(4—x)—=S(x— x),

ss < E I J(r +) Samarie rlose :

En faisant la différence des deux équations, on obtient la relation

(10) $(u,a)—uela —${a,u)—aelu.

La fonction ${u, a)— uela n’est donc pas altérée par l'échange des deux arguments uw, a.

Si l’on fait, dans l'équation (10), a=K, ${a, K) étant nul, il vient

(11) S(K,a)—Kela —«E.

Donc l'intégrale complète de troisième espèce s'exprime au moyen des intégrales des deux premières espèces.

pe TABLES DE FONCTIONS ELLIPTIQUES.

1399. Pour compléter ce que nous avons dit au $ VIL de ce Chapitre, touchant le calcul numérique des intégrales et des fonctions elliptiques, nous ajouterons ici quelques Tables abrégées, pouvant servir à éclairer la discussion des formules qui dépendent de ces transcendantes, et même à obtenir une première approximation des résultats.

La première de ces Tables donne avec quatre décimales les valeurs des fonctions du module, c’est-à-dire des intégrales complètes de première et de seconde espèce et de la quantité g, pour les valeurs de l’angle 8 du module, de centième en centième du quadrant.

Dans les cas où le module est très-voisin de zéro ou de l’unité, certaines interpolations devenant pénibles ou même impraticables, nous les avons remplacées par l’usage des nombres auxiliaires contenus dans les colonnes & et S, et dont nous allons expliquer la signification.

D'après la formule (7) du n° 1371, le nombre g est déterminé

par une série très-convergente pour les petites valeurs du module, 4 À . 4° « série dont le premier terme est —+ Donc la valeur de g est alors très-

TABLES DE FONCTIONS ELLIPTIQUES. 297 À 4? | peu différente de ” et son logarithme pourra s’obtenir en ajouke

tant à log = une peute correclion que nous désignons par ©, er

dont les valeurs se prêtent aisément à l’interpolation.

Exemple. Abou = Foto CulCulen lo Re to La Table nous donne d’abord, pour cette valeur de 8,

log 4 — log sin 9 — T,5945, d’où k°

log Tes 3, 9990.

On a ensuite, en dix-millièmes,

d’où résulte

1094 log =, 0200.

Maintenant, M étant le module des logarithmes décimaux, on

a [1337 | la relation I " lom-109 = Mir?

S { 06 =; dy d’où l’on tire ] ‘a

lozlog — — log M°?r? — loglog 40 09910,

et par suite logg'—1,0594.

1400. Pour des valeurs très-petites du module #, le quadrant elliptique complémentaire K’ prend des valeurs très-grandes et qui varient rapidement avec À. Mais on peut en faciliter beaucoup le calcul au moyen d’une formule d’approximation, donnée par Legendre, et dont nous empruntons la démonstration à une Note

de M. Darboux.

(*) I est à peine besoin d'avertir que les logarithmes qui figurent dans tous ces calculs numériques sont des logarithmes deécimaux.

298 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ x.

Si l’on pose

‘a Z, k') = Vi+zVi+ 'z l'intégrale : à dz Ke —

ou, en ajoutant et retranchant, au numérateur, la quantité

dz = =#;)

K'= f(1 ef re = f PAP Pen ARR Si 0 Vi sien 0 re mie

Si dans la seconde intégrale on suppose £'— 1, cette intéerale O ’

DALe die

se réduit à

T7 do

AT I | 2 1 +2, i Rte ————— — log 2.

Donc, pour Æ très-petit et À’ très-voisin de l’unité, la seconde

® r 2 , 2 Ll V4

intégrale différera très-peu de — log 2 et pourra se représenter sous OR |

la forme

1l = log2 + €,

e étant infiniment petit avec À.

La première intégrale a pour valeur

ve ALP Er VEN) FRET) 0 ;

et sa imite, pour #’ tendant vers l’unité, est celle de

TABLES DE FONCTIONS ELLIPTIQUES. 299 Donc la somme des deux termes de la valeur de K’ peut s'expri-

mer par la formule Ke log 1 + €,

< étant infiniment petit en même temps que k. Donc, pour Æ très-petit, le logarithme de K’ différera très-peu

A Re ; :

de loglog … et s'obtiendra en ajoutant à cette dernière quantité

une correction G, indiquée dans une colonne de la Table I.

S1 les logarithmes sont décimaux, comme ceux de la Table, il À Soit, par exemple, 0 — 01,0458 ; on aura

faudra ajouter au logarithme décimal de + le logarithme de ee

log + — log(4 coséc9)— 1 ,7454, d’où l’on re Â

loglog + — 0,2419 log — 36

== = 22 8x OS 6 = 0,000!

logK' —o,6045

1401. La Table IT fait connaître, pour les diverses valeurs de l'amplitude et de l’angle du module, les valeurs, tant naturelles que logarithmiques, des intégrales elliptiques de première et de seconde espèce.

Pour les petites valeurs de l’amplitude et du module, l’interpolation s'effectue plus facilement en faisant usage des valeurs naturelles. C’est le contraire qui a lieu pour les grandes valeurs des deux arguments, surtout lorsqu'il s’agit des intégrales de première espèce. Aussi avons-nous, pour ces dernières, donné à la Table de leurs valeurs logarithmiques une plus grande extension, en calculant cette Table pour chaque centième du quadrant, à partir de la valeur 0,90 de chacun des angles ® et 0.

Notre Table étant à deux arguments, et les intervalles se trouvant trop considérables pour qu'on puisse, dans l’interpolation,

300 LIVRE VI. — CHAP. IV, $ x.

négliger les différences secondes, nous allons mdiquer en quelques mots comment on doit y avoir égard.

Soit u — f(9,0)une fonction de deux variables, dont on possède une Table construite pour des intervalles constants des valeurs de chacune des variables. Pour simplifier les calculs, nous prendrons ces deux intervalles pour les unités auxquelles les variables respectives seront rapportées. Dans le cas actuel, l’unité à laquelle seront rapportés les angles o et 0 sera le dixième du quadrant.

Proposons-nous de calculer, au moyen de cette Table, la valeur de

u—=fip +4, + £g) do et Do étant les valeurs tabulaires les plus voisines des valeurs © et 0, de sorte que À et g soient des nombres moindres que l’unité. En développant, par le théorème de Taylor, l'expression de u, et négligeant les puissances et les produits des accroissements , g, d'ordres supérieurs au second, on aurait une expression de la

forme u—a+a h + a"??

+ &g + a, hg

0] + An Le

En donnant tour à tour aux accroissements L, g les valeurs 0,1, 2, et désignant par u», la valeur que prend « POUR = rer on pourra déterminer les coefficients &, 4/, a;,... au moyen de &s et des différences du premier et du second ordre de la fonction w, relatives à cette valeur.

En désignant par À., A.. les différences première et seconde relatives à la seule variation de +, par A4 la différence seconde relative à la variation de @ et de 8, et ainsi de suite, on trouvera, pour valeurs des coefficients,

I ï — — ! —— 4 = Uggy € —A,— “ AR TT >

I I FE j MR, à — a — :, Ace) ai A5, dy1 — . A0, el, par conséquent,

, 1 — J (90 + À. 0, +g)=—= Uoo + À (a. : s,+gau)

I—o RE |

LE