SIN LT

T p?— n? | T 1 — 1 avec SiNnpT

es 4 es n

2) bPT On aura donc

Sin LT QU 2 n° BCE ESS 1 — COSX + — COS2X — . E A Dérma tape ler #4

d’où, en faisant x =,

ou, en posant uT = u,

I 2 u? 9 uw?

COURANTS DA u Ut 7e? u® — Â T°

développement convergent quel que soit u.

En intégrant les deux membres de cette égalité, passant ensuite

des logarithmes aux nombres, puis déterminant la constante arbi-

traire par la condition

. “sinz lim et le

on a le développement de sinu en produit infini,

Sin VU Ib I RE TE | I — SRE CRC T° | T°? O7 /

* c TE F Si l’on y fait u — = la formule deviendra

II. Soit F(x)=—x, la fonction étant donnée entre les limites — 7x et +7. Cette fonction étant impaire, le développement ne devra contenir que des sinus, et le coefficient général sera

71% 2, ; sh 2 Ca 2 f EsinrË dé —(—1)1.-.

TE O0 On aura donc

: 15: 1e #= a(sine — — SIM2T + sons Le nf 5)

Cette série représentera, entre les limites — x et +7, l’ordonnée de la portion correspondante de la bissectrice de l'angle des axes positifs. Dans les intervalles suivants, de + 7 à +37, de 3Tà +5T,...,et de même dans la direction opposée, la série représentera l’ordonnée de la même portion de bissectrice que l’on aurait transportée parallèlement à elle-même le long de l'axe des x à des distances 27, 47, .... Pour les abscisses mêmes Er, +37T,..., la série représentera les points correspondants de l’axe des x.

III. On donne le contour d’un trapèze isoscèle OABC, dont la base OC = a est située sur l’axe des x, l'angle AOC — BCO

p L4 A Te \ 4 4 étant égal à ;» et la hauteur du trapèze étant b. On veut repré-

senter l’ordonnée de ce contour par une série trigonométrique, en supposant qu'il se reproduise identiquement tout le long de l'axe des x, la fonction ayant, par conséquent, a pour période et étant une fonction paire. On prendra alors la série des cosinus, avec les formules

I LA : D. 2TNE ol F(E)dË, = à | F(Ë)cos ge dE.

Pour effectuer les intégrations, on décomposera chaque intégrale en trois parties, séparées par les abscisses b et a — b, de

sorte que

b Fig) 2 a 2 DIT EME 2 RTE Dee Le = % Ë cos dE + [ b cos dE + (a — Ë)cos ie a [44 «a «a 0 b b

© ab e a —b 2 20 27NTE = — Ë COS —— dé —- cos dË ) b £ 20 , 2nxb a 2nrb \ a SIL sn 1COS ==} nT a hr?r? a 1 avec I b(a—b) as — Û 5) a

S1 l’on suppose a — 2, le trapèze se réduit à un triangle et les expressions des coefficients se simplifient. Il vient alors

I a 2.4 = 5 © Hoi "O œ a —) , 0 A PAL () DSL (22 +i}r° d’où 2a/[r? I 2TX 1 Grx Fix) — HS 1:00 — 7 cos —

[Oo]

RARE . I bu I ns SN RDS NES ES À LL

IV. Si, au contraire, on suppose que les trapèzes soient situés alternativement au-dessus et au-dessous de l’axe des x, la fonction F(x) sera impaire, et l’on devra prendre la série des sinus.

La période de la fonction sera alors 24, et les intégrales devront nTrË

être prises entre les limites — a et + a. La fonction F(£) sin

étant paire, on aura, pour cette fonction [460 |,