INTÉGRALE DE FOURIER

Sila fonction F(x)estpaire, on verra, en développant cosp(£—x), que le terme de l'intégrale qui dépend de sinp£ s’évanouira, et, en appliquant la formule du n° 460, on trouvera

o 2) 2 F()= 2 | . F(Ë)cosuË cosux du di.

De même, si la fonction F{x) est impaire, on pourra écrire

o (ee) ©O F(æ)= 2 | j| F(£)sinp£ sinpx dudë.

Ces formules pourraient s'étendre, comme celles de la série de Fourier, au cas d’un nombre quelconque de variables.

1194. Applications. — T. Soit, & étant un nombre positif,

Er Ro 0 ADS 1

et CN de x—— à T—O;

F(x) sera alors une fonction paire de x, et l’on aura

> PR œ à F{x) = — e% cos pË cos ux dudeë, Fo 0

En intégrant par rapport à £, on a [ 456, IV]

- RS a ea cos uË dé = ———-.

i ) 2 ë a” —- ue”

Donc Ë D OT COS LE F(x) = — ——— dy.

TT 0 A” —+- L Ainsi l'intégrale Le COS LT : a” - LL” T Ltax 1 : 7; PAR a pour valeur — et depuis x = — 0 jusqu'à x — 0, et — ex 24 2 4

depuis x —0o jusqu'à x = + co | 485, IV |.

S1 l’on supposait, au contraire, F(x) = —et27 de x—=— à #)

x — 0, on trouverait de même

ere) .

(= 2 [Eee

2 2 Fi 0 dd Th

IT. Soit maintenant

r(e)= [fera

x étant compris entre o et +. On aura, suivant que l’on supposera la fonction F(x) paire ou impaire,

co ea b F(a)= 2 f de [ æ [ dt cospË cosux f (t)ert, [e) [e] a

ss co co b Fiei= = [ dy f a | dt sinp£ snuxf(t)et.

0 Vo a

En effectuant les intégrations par rapport à £, ces deux expressions deviennent

co b F(x)= 2 f cosgæ da ]| LP () de,

ou

Jo «a PLU Ce) b F(x) = 2 2 Sin x du ie - dt.

10 a oo)

Ces deux formules supposent x > 0. La première est encore vraie pour x —0 ; elle donne alors

b 2 72 b (x) [ Titdie = | du fe) NLGE …

0 a Ce mi

comme on peut le vérifier en effectuant l'intégration par rapport à pm. Pour x—o, l’autre formule donnerait la moyenne entre F(—o) et F(+o), laquelle est nulle, puisque la fonction F(x)

est alors supposée impaire.

. I . c En faisant, dans la formule (1), f(t) — 1° On en ürera faci-

4 A rt ne pe

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