SÉRIES DE BURMANN ET DE LAGRANGE

1195. Nous avons vu [11417 que, si f(w) est une fonction de w uniforme et continue pour toutes les valeurs de cette variable renfermées dans un certain cercle € (dont nous prendrons, pour plus de simplicité, le centre pour origine des coordonnées), cette fonction pourra se développer en une série ordonnée suivant les puissances entières et positives de w,

(1) J(æ) = a+ au + au? +...

Supposons maintenant que l’on change de variable, et que w représente une fonction donnée

de la nouvelle variable z, qui soit uniforme et continue dans une certaine portion du plan; cette portion du plan renfermera nécessairement le point correspondant à l’origine des w et pour lequel la fonction (3) s’annule. Soit z, ce point, tel que l’on ait

Si l’on fait | |

flw)=fte(:)]=F(:),

F(z) sera une fonction de z uniforme et continue dans le voisinage du point z, et dans toute l'étendue de la portion de plan pour laquelle les deux fonctions f et @ à la fois seront uniformes el continues,

Si l’on met pour w sa valeur o(z) dans le développement de f(w) suivant les puissances de w, on obtiendra le développement de F(z) suivant les puissances entières et positives de la fonc-

tion o(z), (2) F(z)= a+ aæp(z) +alp(s)P +...

11 s’agit de déterminer l'étendue de la portion À du plan des z pour laquelle ce développement est possible, et de trouver les expressions des coefficients &o, &,, &,... au moyen des fonctions MATE

1196. Posons, pour abréger,

o —(é), et considérons le résidu I [ Li (6) dé 27 = œ@ — W Si la quantité lim (£—2) el = un a — re x lim 22) p(z) +p{z)

n’est pas infinie [et il en sera ainsi si w’(z) n’est pas nul}, cette quantité sera la valeur du résidu en question.

Supposons maintenant que, pour tout point du contour de l’aire A, le module de w = p{Ü) soit constamment plus grand que le mo-

en une série

dule de w = (3). On pourra développer alors RATE

convergente suivant les puissances de w. On a, en effet, I I 7 HE NUE a 142 +=) + © — w 0) c) (3) wo — #)

En multipliant par . F'(£) dt et intégrant tout le long du con-

tour de À, on aura

—= bb, 0, wie o,

SÉRIE DE BÜRMANN. 39

les coefficients à; étant donnés par la formule

(4) a AFS ns A A :

et le terme complémentaire Q, ayant pour expression

(5) A; =— Êe mn f. FE.

2TI qe" (so —)

1197. La condition mod.w >> mod.w

sera remplie si l’on prend pour contour de 4 la courbe que l’on détermine en égalant le module R de o(z) à la plus petite des valeurs de ce module qui correspondent aux diverses racines de l'équation q'(z)—o.

En effet, ce module R, qui s’annule pour le point z — 25, va nécessairement en croissant lorsqu'on part de ce point, puisqu'il ne peut recevoir que des valeurs positives. Traçons autour de z, une série de courbes que nous désignerons par (R) et dont chacune correspondra à une même valeur constante du module R. Si l’on pose, u et # étant réels,

F5 re o(z) — U + &, l'équation générale de ces courbes sera Ho h:.

Deux courbes quelconques de cette suite ne se couperont pas, sans quoi il faudrait que u? + v? admît au point d’intersection deux valeurs différentes, et alors w et », et par suite o{z),ne seraient plus des fonctions uniformes. Donc ces courbes iront en s'élargissant à mesure que le module R croîtra, et chacune renfermera dans son intérieur toutes les précédentes.

Il en sera ainsi tant que le module R n’aura pas atteint un maximum. Or, pour ce maximum, on doit avoir

d(u?+v?) —o, ou, en reprenant les notations du n° 1101,

(uX +voY)dx + (vX — uY dy —o.

ess Re

40 LIVRE VI. — CHAP. II, $ 1v.

x et y étant des variables indépendantes, il en résulte

u X +eY—o, vX—uY—o,

d’où l’on tire X— o, Ÿ — 0, et par suite (2) =X+iY— 0.

Donc, toutes les fois que le module d’une fonction synectique o(z) passe par un maximum Ou par un MARIMUM, la dérivée ®{z) s’annule.

Il s’ensuit de là que, si R, est le plus petit des modules de @(z) qui correspondent aux diverses racines de l’équation 9’ (z) — 0, R, sera égal ou inférieur au plus petit des modules maxima. Si donc on prend pour contour de l’aire 4 la courbe (R,) donnée par l'équation

HE pre,

v’(z) sera différent de zéro dans toute l’étendue de cette aire, et, si z est un point de l’intérieur et € un point du contour, on aura

toujours mod.w{6) >> mod.w{z).

S1, de plus, la courbe (R;) est contenue tout entière dans l’aire de continuité 8 de la fonction F(z),et par suite aussi de sa dérivée

F'{(z) [1136], la fonction . sera uniforme et continue dans ) toute l’aire limitée par (R;), et le développement donné par les formules (3), (4) et (5) sera convergent.

Si (R,) sortait de l’aire 8, dans laquelle F(z) est uniforme et continue, on remplacerait (R,) par une autre courbe (R°) de la série (R), correspondante à un module R° CR, et contenue enüèrement dans #.

1198. Cela posé, multiplions les deux membres de l'équation (3) par '(z)dz — dw, et intégrons-les entre les limites z, et z ou entre les limites o et w. Il viendra, en posant

by.

CRE à Ap+1 — =

(6) F{z)—= a+ am +... + a+ [| A, dw, | À

SÉRIE DE BURMANN. 41 \ , où l’on aura

ee 1 Er ma ne Le)

n 2Ti GI SMRN FEAT A A Te w"

n F/ PRET LoD Alger e), PDC EPS Lo(zo+e)]"

La formule (6) représente la série de Bürmann. 1199. IT nous reste à faire voir que, dans les hypothèses où nous nous sommes placé, le terme complémentaire 1 Q, dw de la sé-

rie (6) est infiniment petit pour 7 infiniment grand. Ce terme complémentaire s’obtient par l'intégration de l'expression

Tue AT F(6) dé (8) EN AT CILET TE)

Le module f de o{{) est constant et plus grand que le module R

de o(z). Donc, en faisant sortir le module fi de dessous le signe /f, on voit que Q@, se réduit à une fonction finie de z, multipliée par

le facteur in lequel est infiniment petit pour infiniment hi)

grand, d’où il résulte d’abord que la série (3) est convergente.

Maintenant, le terme complémentaire de la série (6) s’obtiendra en multipliant l'expression (8) par dw—{(z)dz et intégrant entre les limites z, et z. Si l’on pose

p(z2) =Ryx(z),

R étant le module de o({z) correspondant à la limite supérieure z, on obtiendra pour résultat une intégrale finie, multipliée encore

COUT Mine | par le facteur infiniment petit ñ) » et l’on en conclura que le

terme complémentaire de la série (6) est encore infiniment petit pour 7 infiniment grand et que, par suite, la série (6) est convergente.

On pourrait encore remarquer que le reste de la série (6) peut se mettre sous la forme

I e sis 2" az Al

ri Ja le(e) «7

expression qu'il serait facile de transformer en effectuant l’intégration par rapport à Z. On obtiendrait ainsi le reste de la série de Bürmann, comme on l’a fait pour la série de Cauchy [1120] Nous n'insisterons pas davantage sur cette formule, trop compliquée pour être d’une utilité pratique.

4200. Donnons quelques applications de la série de Bürmann.