GE B

La dérivée g'(z)—2z—x—f s'évanouit pour z — :

expression qui, substituée dans o{z), donne, pour valeur du

module, 'R À 2 D — NS mod. |: —Mtûe> af ; 5) 3}

__\# Il faut donc prendre R < É Be , et partant choisir pour À celle

des deux ovales, dont se compose alors la courbe, qui entoure le {foyer dont z doit être le plus voisin, le foyer &, par exemple. On a alors, en supposant cette ovale assez petite pour que la fonction F{z) reste uniforme et continue à son intérieur,

F(z)=F{c)+a(z—a)(3—B)+a{(3—0)(2— 8) +..., Mr ie I F'{x)

de Lin D ne ‘ Pr er, Es (E— p}" 1: 26 APE {ap}

SÉRIE DE BÜRMANN. 43 Soient, par exemple,

Re 0 PR a Le 2},

d’où R<T >; et supposons que la fonction F(z), uniforme dans

l'aire À, qui ne renferme pas le point de ramification z — 1, parte du point z — o avec la valeur initiale 1#=— 1. Il viendra

4901. II. Znversion des fonctions.

Étant donnée entre w et z une équation de la forme w = o(z), on peut, à l’aide de la série précédente, développer z, ou, plus généralement, une fonction donnée F{z) de z, suivant les puissances de o{(z)—w, ce qui donne l’expression de la fonction inverse de la fonction +. La valeur de z en fonction de w pouvant offrir plusieurs déterminations, on obtiendra plusieurs formes de développement, correspondantes aux différentes aires 4 qui entourent les diverses racines z, de l’équation o(z) = 0, et à l’intérieur de chacune d'elles z sera une fonction uniforme de w.

Soit donnée, par exemple, l’équation

On a ici

mod, w[z|=—=-:

AE Le contour à l’intérieur duquel z doit être compris est donc déterminé par l’équation T

mod. LAS, + OU UT + 7° — p?2(X—1), e

Pour tout point de l’intérieur de ce contour, on a

F{z)=F(o) +aw+au +...,

44 LIVRE VI. — CHAP. II, $ 1v.

R—1r nCp//;:

a == lim Pr = [es Fal Es L£ À (1 Ê C0 LÉR2 EE ENERTE

1902. III. Serie de Lagrange.

Supposons que l'équation entre w et z soit de la forme

z—=c+wf(z), d’où l’on tire

et, par suite, Zo—C, en admettant que f(c) ne soit pas nul. Si f(z) reste fini dans l’aire considérée, l’équation 9'(z)= 0 devient

Parmi les racines de cette équation, on prendra celle qui donnera Je

l'aire où z devra être renfermé sera déterminé par l'équation

pour le module de la plus petite valeur R,, et le contour de

ré = (CG mod. —— —=R 2 HaMnE

On aura alors F(z)=F(c)+ac+au? +..., avec

RAOAOE

ln E

RSA (2

1203. On peut établir la série de Lagrange d’une manière plus élémentaire, mais qui a l'inconvénient de ne pas faire connaître les conditions de convergence du développement.

Soit z une fonction de w, définie par l'équation

(1) HS NNÈSE Si l’on représente par

A pen LU

la dépendance entre z et w, on a, par le théorème de Maclaurin,

7t 3 — } Ar SEM À OR OPA 4 RON 0) ones UC rca Om rer me ki

L’équation (1), pour w — 0, donne z —c, ou

Yo)=e On a ensuite 0z , z (4) + leon the?

d’où Y'(o)—=f(c) On pourrait continuer ainsi, et obtenir successivement les valeurs de Y’(o), d”(o), .... Mais on peut trouver une formule pour

exprimer le terme général de la série.

De l'équation (4), on tire

03 Ve)

Ow 17e

Si l’on différentie maintenant l'équation (1) par rapport au paramètre c, 1l vient

Oz vu I , debit — wf'(2)?

donc Ôz Oz (5) SA ee

0w On a maintenant identiquement, quelle que soit la fonction y,

re : 0z ce qui fait connaître au moyen de =" dc

comme on peut s’en assurer soit en effectuant les différentiations, soit en remarquant que ces deux quantités sont les expressions de

Donc, en remplaçant y'(z) par f(z), l'équation (5) donnera

Dis D,[/(2)De:]=D.(/(:) Dis] = D. [/(2)] Des},

46 LIVRE VI. — CHAP. II, $ 1v.

d’où, en faisant w = 0,

Y'(o)=De.[f(c)F.

De même Dis D,D.{[f(2)P Des) = Diff (2) Des) = Dé ff (5) Des,

d’où

ÿ’(o)= DEC F(c)F.

Et ainsi de suite, de sorte qu’on aura, en général, ÿ0 (0) = DIT LS(c)}r.

£n substituant ces valeurs dans l’équation (3), on aura le développement cherché de z suivant les puissances de w.

Si, au lieu du développement de z, on veut obtenir celui d’une fonction donnée F(z), on formera alors les valeurs des dérivées

de F(z) par rapport à w. On a

D,F(:) = (:)Dsz = F'(:)f(4)Dez —f(2)D.F(2),

+ o Î E & ee Fe © us

o OS

ESA gl ay =

et, en général, DEF SI =D AS DFE) Si l’on pose F(z3) — P{w), on aura donc PO NC CN 0 EE ACUE ec) OR eEE et généralement BOX) © lé | HACNTEé) L

el l’on retrouve ainsi le développement du numéro précédent.

1204. Comme exemple de développement par la série de Lagrange, prenons le problème de Kepler, qui consiste à tirer de

|’ ’ = équation PU es

le développement de l’anomalie excentrique uw d’une planète suivant les puissances de l’excentricité e, T étant l’anomalie moyenne. On

remplacera, dans les formules précédentes, z, w, c respectivement paru, e, T, et f(u) sera égal à sin u. Il viendra alors

CUS. É j RE PR u=T+ - SINT + — DrsnùT +... + ———— Dit sin!T +... I F2 1020 7

Or on a, pour x impair,

sin? T—nsin(r—2)T+{(7),sin(r —4)T CAS 10 D 20 n—1 à RTE 1) io —...+{—i) ? WrsurTiel {

el, pour 7 pair, COST — nr cos(r —2)T+{(72), cos(z — 4)T

On peut tirer de là immédiatement les valeurs des coefficients des puissances de e. On trouve ainsi

SA Le U— TE esntE— sin2T+ 1.2.

p3 à ER re. (ssingr — ï sin } 15101000. I

+ Le ae di ere SE sn2T ae ANR EX À 1 Ja TE

Pour obtenir le rayon vecteur r, on posera, 2a étant le grand axe,

F{u)—=1—ecosu,

«& et l’on aura ainsi “. e ., e n" — —=I— eCOST + — sin T + — Drysin T +...

7 1 1.2 CT è I —1— 6COST— —.-{cos2T — 1) — + — (3 cos3T — 3 cosT) 1 2 149209 e* / 9 9 [d à!

— —— — 2 COSAT — 4.92" cos 2T =: 0 Toro 53 (4 À 4 )

a — (1—ecosu)"? suivant les puissances de ecosu; puis on [42

calculera, par la série de Lagrange, les développements des diverses

puissances de cosu. On aura ainsi

a? e? 3e* / Le — —I1+ — + Ho h | 20 RS EE NE COSAE UE Er Be? k 3e \ ne De, PRES Cos2T + NE +. |ICOSST 2 3 4 e. | Hs Hess | COSAT +...

En multipliant ce développement par celui de

on aura le développement de

do == V1 —e.4T, à

d'où, en intégrant à partir de T — o, on aura, pour l’expression

de l’anomalie vraie,

1205. Pour obtenir maintenant les conditions de convergence de ces développements, considérons l’équation ®’(z) —o du

n° 1197, laquelle devient 1c1

sinu—{(u—T)cosu

Sin? 4

> OÙ u—T—tangu— 0.

En supposant T réel, et posant u—x<+iy, cette équation se

partagera en deux autres, Sh2 7

sin 2 æ s TT cos2x + Ch27y

m1 COS2X + Ch27°

Ces équations ne pouvant être résolues tant que la valeur de T n'est pas donnée, cherchons du moins la plus petite valeur que

puisse recevoir le module de e pour une valeur réelle quelconque

def:

La seconde des équations précédentes peut se mettre sous la forme Sh2 y

2 SM? X — 1 — + Ch27.

Le second membre croissant avec y, et le premier membre ayant pour valeur maximum 2, y ne pourra surpasser la racine réelle de l'équation

Sh2y == CHUN — set LA OUT sus

laquelle, étant résolue au moyen des Tables de fonctions hyperboliques, donne la valeur