HOLD

Les Ù 6) dé ve Donc la valeur du résidu -— pe ie se réduit à ri), C—3 L I C dé Fa) Ta CR PES RUE ie ge) de amilz—c), (5 —c) (z—c}" e G—c ré rise C(2) us SERRE IE ET (2 cr en posant ï 6) de eh {c) Dr fer flo te) (2 2) Co el A = ]im — ERA ‘ Le OUR NÉE rt) CRE DEN lee sr Un K)

résultat qui coïncide avec celui que nous avons obtenu au n° 420.

1207. Il reste à calculer la première intégrale eue HAgue 2Ti A C—.23

Supposons que tous les infinis de f(z), à l’exception de z=«, soient contenus dans l'aire 4, et appliquons la transformation par

pe I rayons réciproques, en posant Fi A comme au n° 1139, l'intégrale prendra la forme

En changeant le signe,

et, l'aire #ne contenant pas d’autre infini que le point {= 0, cette intégrale n’est autre chose que le résidu, pris en signe con-

traire, de la fonction ere (2) pour le point &/—0. Or

on à

2 | / ds M dé D wl 7 ne Ë = ME )5 (1 [+3 Hz. 2 Cent po

y étant l'indice, pris positivement, de l'infini £ — © ou é’— 0, et

52 LIVRE VI. — CHAP. II, $ v.

K étant une quantité qui ne devient pas infinie pour €’ = 0. En posant

U , f(x) han },

cette fonction y(é’) sera finie dans le voisinage de &’=—o, et ilen sera de même de Ky(é’). Donc la valeur du résidu intégral cherché se réduira à

. SERRE +.,.+ B,z, 271 J4 C— z en posant . D'-/ vly sal par. 2 l/ (2) (3) B,= —- | <= lim .

2 Tin) OC a Ware 1.2..,(v— 4h)

S1 la fonction f (z) est rationnelle, l’ordre y de l'infini z = est égal à l’excès du degré du numérateur sur celui du dénominateur.

S1 les deux termes sont de même degré, l’expression précédente du résidu intégral se réduit à la constante f(æ) ou au rapport des coefficients des plus hautes puissances de z dans les deux termes de f{(z).

S1 le numérateur est de degré moindre que le dénominateur, &'= o n'est plus un infini de la fonction 10 y re PEpen suite, le résidu de cette fonction pour &’= o est nul. La fonction f(z) se réduit alors à la somme des résidus relatifs aux infinis Li be

1208. Donc, si f(z) est une fonction dont tous les infinis, à l'exception de z — « , sont contenus dans une aire finie 4, et si Ris 2. , V Sont les indices respectifs, pris positivement, des infinis c,, Co, ..., © , f(z) pourra se mettre sous la forme

flz)=Bo+Bz+...+B,?

(4) G cr (002 Dre en rs ||

se signe À s'étendant à tous les infinis c4, ©», ..., et les coefficients B;, C® étant déterminés par les formules (3) et (2).

Si l’indice y était négatif, la partie entière du développement disparaîtrait.

On voit que, si le nombre des infinis ci, ©, ... est limité, et que les indices 7, n,,..., v aient tous des valeurs finies, la fonction f(z) sera nécessairement une fonction rationnelle. La formule (4) donne la décomposition de cette fonction rationnelle en fractions simples.

Dans le cas contraire, le développement de f(z) se composera d’une infinité de termes. Pour pouvoir alors faire usage de ce développement, il faudra au préalable s’assurer de sa convergence.

4909. Exempzes. — Ï. Formule d’interpolation de Lagrange. Considérons la fonction

fa) = sa |

F(z) étant une fonction entière, de degré moindre que le degré 7 du dénominateur. On est alors dans le cas où la partie entière du développement de f(z) est nulle, et l’on trouve simplement

ee A6 Lu DO DA encres 20

SD , F(z) | I :

(2x — Zi}. CO

(rene Ner nzpnil..-(zL 2, 2%; En mettant pour f(z) sa valeur, on en tire

For PA LRO dm 2 2e 1 rm 2 eme Fa)

dd (Zg— 21)... (2% — 271)(28— 2441). (2x — 2n)

ce qui est la formule d’interpolation de Lagrange. 1210. IT. Considérons la fonction FLE) =cou- Z| = COL —»

qui a pour infinis toutes les valeurs de z qui sont de la forme

54 LIVRE = AC A PA ES Ne

Choisissons pour contour de l'aire une courbe qui entoure tous ces infinis, à l'exception de celui qui répond à 7 = 0, et par suite à z = © , et qui est le point O’. On aura, par la formule du n° 1208,

se I cot= — =: Un nt — .

2H C' 2Ti Ps nr

D'ailleurs, coté” étant infini du premier ordre pour {’=0o,ona

: coté’ dt!

; ——— — limf[Dx cote aCiCOLE.

à , tnsuite Ce cot — dé ; T € . € I I I — = CON — — SHRLSE AN ns I I NT ATZ — I rs Z— —— —E€ —— £ JLTT AT TUTT Donc 11 =—=100