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De ce développement, dont il est facile de constater la convergence (1), on tirerait nee les SPÉNPPERETE de Cobs

tan ee eee ALe par = ne puis z’ par = —— z", etc. (voir

1211. Si la fonction f{z)a un nombre illimité d'infinis correspondants à des valeurs de z indéfiniment croissantes, alors les valeurs de z, représentées sur la sphère [1111], se presseront autour du point O’ avec une densité infinie, et l’on ne Re plus appli-

quer toujours à l'évaluation de l'intégrale — : cd L sr procédé DA À ET du n° 1207.

log —

. e- Q « Li e É (*) En effet, il satisfait à la condition connue de convergence FE et

On peut cependant y parvenir simplement dans certains cas. Prenons pour contour de 4 une ligne de dimensions infinies, qui ne passe par aucun des infinis de f (€). On peut alors écrire l’intégrale sous la forme

1 f(E)de

DL Lol (à

Pour & infini et z fini, le facteur ——— différera infiniment peu de Z Lt

l'unité, et, par suite, on n’altérera qu'infiniment peu l'intégrale en le supprimant. On pourra donc, dans ce cas, toutes les fois que cette intégrale aura une valeur finie, remplacer la formule (1) par la suivante :

(5) AGE, Lie > al

° , s dé @l Là L'intégrale [ AE est une constante indépendante de 2, A 2

mais qui peut dépendre de la forme choisie pour la courbe infinie qui limite 4. La somme de résidus

1 Le.

> mie, 2TI AS z — C

relative à tous les infinis r'enfermés dans l'aire A, sera en même temps dépendante de la forme de cette courbe. Alors le dévelop-

pement de la fonction en une somme infinie de fractions simples ne pourra pas se faire sans tenir compte du terme complémentaire représenté par la première intégrale.

Mais si, en donnant au contour de 4 une forme symétrique par rapport à l’origine, 1l arrive que cette intégrale prenne une valeur constante, indépendante de Ja nature de la courbe symétrique, nulle par exemple, comme cela a lieu lorsque f(z) est une foncion impaire de z, alors, en associant deux à deux les résidus correspondants à des infinis symétriquement placés, on aura un développement convergent de la fonction f(z), sous forme d’une suite infinie de fractions simples.

56 LIVRE VI. — CHAP. II, $ v.

1212. Soit, par exemple, la fonction f(z)—"cosécz.

Les infinis de cette fonction, qui sont les zéros de sinz, sont situés tous sur l’axe des x, aux distances nr de l’origine. Prenons pour contour de l’aire une courbe infinie quelconque, qui ait pour centre

l'origine, et qui coupe l’axe des x entre deux infinis consécutifs, de sorte que coséc£ ne soit infini en aucun point du contour.

cosécé .

{l —— Fin ETS

L'intégrale

prise le long de cette courbe, aura, en deux points diamétralement opposés, des éléments égaux et de signes contraires, coséc® étant une fonction impaire de &. Donc cette intégrale sera nulle, et l’on

aura simplement + 7

cosécé .

COSCCAEe ee MI 2 &ë, DT

la somme devant être prise entre deux valeurs de 7 égales et de signes contraires, el qui tendent vers l'infini.

oo. d’ailleurs

I coséc £ coséc £ ME COSEC\ AT + Jl dé = im(é— 727) —— — lim — C es Pr un 2—€ z — Z — NT — €

, TZ . NET 22 A Ne RE — - ER Z — NT — € Sine 2—n% Donc + æ . E— Lie I (— D COSÉCz — nr > nee CR CET Z nul ET ED 1 En remplaçant z par = 7 __z, on tire de là + 00 co tar D SEC =. 1) == RTE SU z—(n — +) DE 1% 2e > D 0

En changeant z en :z dans ces deux formules, on aurait les dé- Ù

Shz Chz

veloppements de

cr Ne