CHAPITRE II

1231. Nous avons appelé fonction multiforme [1110] de la variable complexe z une fonction qui, pour chaque valeur de z, est susceptible de prendre plusieurs valeurs distinctes, différant entre elles de quantités finies.

Si l’on attribue à z une suite continue de valeurs, nous supposerons que chacune des déterminations de la fonction w = f(z) prend aussi une suite continue de valeurs, de telle sorte que, si Le point variable z décrit dans le plan des z un chemin continu quelconque, chacune des déterminations de w décrira en même temps un chemin continu correspondant. Nous appellerons ces divers chemins les branches du chemin total décrit par la fonction w.

1932. On peut aussi considérer le plan des z comme portant, en chacun de ses points z, les diverses déterminations de la foncuüon w, qui formeront divers systèmes de cotes attachées aux points z. En rangeant ces diverses déterminations (1), w(2), ... toujours dans le mêmeordre, de manière que les valeurs w(1) dt), (2) + dw@®),..., correspondantes à z + dz, soient rangées respectivement à côté des valeurs w(1), w@), ..., correspondantes à z et dont elles diffèrent infiniment peu, on formera ainsi plusieurs couches de valeurs de w, telles que variera d'une manière con-

unue dans chaque couche et que, d’une couche à lautre, les valeurs de w correspondantes au même z ou à des z infiniment voisins différeront entre elles de quantités finies.

Il s'ensuit de là que, tant que les valeurs de f(z) correspondantes à un même z seront distinctes et inégales, on ne pourra pas passer d’une couche de valeurs de w à une autre par une variation contüinue. Donc, en vertu de la condition de continuité, ces couches seront isolées les unes des autres, comme si les diverses déterminations de f(z) formaient autant de fonctions distinctes, dont chacune serait uniforme et continue.

En d’autres termes, les courbes tracées par les différentes déterminations sur le plan des w, c’est-à-dire les différentes branches de la courbe totale des w, ne se rencontreront jamais en un point correspondant pour les deux à une même valeur de z.

Ainsi, la condition de continuité de chaque détermination de w isole les diverses déterminations les unes des autres.

1233. Il n’en serait plus de même si, pour une certaine valeur z, de z, deux déterminations (1), w(?), distinctes en tout autre point, devenaient égales entre elles. Alors, en ce point z,, rien ne disinguerait plus les deux couches de valeurs de w, et de la valeur commune #, on pourrait passer indifféremment, sans rompre la continuité, soit à la valeur w°" correspondante à 2: = 2, + da, dans la première couche, soit à la valeur w® correspondante au même z, dans la seconde couche.

Autrement, les deux branches wt#), w(?) de la courbe w auraient un point d'intersection w, correspondant à la même valeur z, de la variable z, et, si l’on change z, en z, + dz,, rien n’indiquerait plus à laquelle des deux branches doit être attribuée chacune des

dw deux valeurs de w, + F dz, de sorte que la branche BA, par

Œz exemple ( fig. 94), pourra aussi bien être continuée par la branche AË que par la branche AC, si l’on n’a pas entre les deux d’autres motifs de choix que la condition de continuité de chaque détermination de ww.

Un tel point z,, pour lequel se confondent deux ou plusieurs déterminations de la fonction w, et auquel correspond, par conséquent, un point w, d’où partent en divergeant les diverses

branches de la courbe w correspondantes à un chemin quelconque de z, se nomme un point de ramification de la fonction w. Les points de ramification et les points de discontinuité d’une

Fig. 9/.

fonction sont désignés sous le nom commun de points critiques de cette fonction.

19231. Les fonctions multiformes que l’on rencontre dans l’Analyse sont d’abord les racines d’une équation algébrique ou transcendante,

entre la fonction « et la variable indépendante z. Nous n'’entreprendrons pas ici l'étude du cas général, et nous nous bornerons à considérer le cas où l’équation est résoluble algébriquement par rapport A.

ne autre classe de fonctions multiformes est celle des intéerales Une autre cl le fonct luf t celle d tégral de fonctions présentant des points critiques.

1235. Etudions, pour commencer, quelques exemples de foncions multiformes, racines d'équations algébriques.

ÏI. Soit la fonction

Cette fonction admet deux déterminations, égales et de signes contraires, diflérant par suite entre elles d’une quantité finie tant que z ne sera pas égal à + c. Pour z —=c, les deux déterminations de w prennent la valeur commune zéro. Donc z=—cet z—=— c sont deux points de ramification de la fonction w.

Pour distinguer l’une de l’autre les deux valeurs de w, mettons les deux facteurs sous le radical sous la forme :

: PV en GENRES ne

et, pour fixer les idées, supposons qu’au point 3 0 on attribue aux deux arguments p et p’ des valeurs positives et moindres que 27. On aura, pour la valeur de # correspondante à un z quelconque,

MNP=ENT

£ { ps D) (1) OO |, 71 € °

La valeur initiale de p étant choisie comme nous l'avons fait, si, pour arriver de O en un point quelconque M{fig. 95), on fait suivre au point variable 3 un chemin quelconque, et si l’on imagine

Fig 0:

que des points + c et — c partent deux rayons vecteurs aboutissant au point z et le suivant dans tout son parcours, chacun de ces rayons décrira autour de son extrémité fixe un angle de grandeur quelconque et parfaitement déterminé. Donc chacune des deux valeurs de w, que nous avons distinguées par les signes + et —, sera aussi parfaitement déterminée. Ces deux valeurs ne cesseront pas d’être inégales tant que les rayons 7 et 7” seront tous les deux différents de zéro.

1236. Si l’on fait décrire à z un contour fermé quelconque, ne

comprenant dans son intérieur aucun des deux points de ramification + €, —c, chacune des fonctions

étant uniforme et continue dans cette aire, on pourra lui appliquer les théorèmes relatifs aux fonctions synectiques, et en particulier celui en vertu duquel chacune de ces fonctions arrive à la même valeur lorsqu'on fait passer z d’un point z, à un autre z suivant deux chemins différents, renfermés l’un et l’autre dans l’intérieur de cette aire. On voit aisément alors que chacun des angles p, p' arrivera en z avec la même valeur, quel que soit celui des deux chemins qu’on ait parcouru.

Dans ce cas, on pourra, sans changer la valeur finale de la foncon, retrancher de l’aire 4, comprise dans le contour, des portions quelconques [1127 |, et par suite réduire cette aire à la droite qui joint les deux positions z, et z, pourvu que celte droite soit tout entière contenue dans l'aire A.

S1 l’on considère l’accroissement 4 — æ, de la fonction, correspondant au déplacement de z, comme l'intégrale des accroissements infiniment petits correspondants aux éléments infinitésimaux du chemin suivi par z, on voit que, dans l'hypothèse admise, on pourra remplacer l’intégrale prise le long d’un chemin quelconque contenu dans l’aire par l'intégrale prise le long du chemin rectiligne aboutissant aux mêmes extrémités. Nous donnerons, pour abréger, à cette dernière intégrale, le nom d'intégrale rectiligne prise entre les limites z, et z.

1937. Si la droite z,z passait précisément par l’un des points de ramification c, on éviterait ce point en remplaçant une portion de droite infiniment petite, prise de part et d’autre de c, par une portion de courbe, un demi-cercle par exemple, tournée dans un sens tel que le chemin rectiligne ainsi modifié et le chemin curviligne qu’il doit remplacer ne comprennent pas entre eux le point c.

Pour rendre ces faits sensibles par une image physique, imaginons un fil flexible étendu sur le chemin parcouru par z entre les points z, et z, et concevons aux points + c et —c deux obstacles verticaux, empêchant le cordon de passer par-dessus l’un ou l’autre

de ces points. Deux positions quelconques du fil pouvant se transformer l’une dans l’autre sans rencontrer les obstacles comprendront entre elles une aire qui ne renfermera pas ces obstacles, et, par suite, les variations de la fonction correspondantes à ces deux chemins seront identiques et elles seront égales à l'accroissement reculigne si l'on peut redresser le fil sans rencontrer les obstacles.

Dans le cas où le chemin rectiligne passe par le point c, on

s’avancera sur ce chemin à partir de z, jusqu’au point z = € -- À 2 infiniment voisin de c, à étant l’argument de z,—c; puis on décrira du centre c et du rayon 7 un demi-cercle dans le sens des angles croissants ou décroissants, suivant que le rayon vecteur parcourant le chemin curviligne de z, en z fera le demi-tour de € dans le premier sens ou dans le second. On arrivera ainsi de l’autre côté de c avec une valeur de l’argument de reë égale à a Er, et, par suite, le facteur

Vz UC — Vre deviendra soit

soil

suivant le sens dans lequel on aura contourné le point c. D'après cela, w arrivera en z avec l’une ou avec l’autre de ses déterminations, selon que l’on aura choisi l'un ou l’autre des deux demi-cercles pour remplacer le diamètre commun. Dans tous les cas, on aura le moyen de distinguer quel est celui qu'il faut choisir.

1238. Si l’on fait décrire au point z, autour du centre +c, un cercle assez pelit pour ne pas contenir d'autre point critique que .P

. 2 . . ES + c, l'angle p variant de 27, P variera de 2 Gb Di UILe Vre .

sera multiplié par eF =— 1. Done, après avoir parcouru ce cercle, la valeur de #w aura été multipliée par — + et aura changé de détermination. Il en sera de même si z fait le tour de —c.

Si z parcourt une courbe fermée faisant z fois le tour de + cet n' fois le tour de —c, les tours étant comptés positivement ou négativement suivant le sens du parcours, les deux facteurs de

90 i LIVRE VI. — CIAP. 111, 1.

seront respectivement multiphiés par

Je Lee { / et — | — ts et — (— LS ;

et par suile w sera multiplié par (— 1)*##, Donc changera ou ne changera pas de détermination, suivant que le nombre 72 +

sera impair ou pair.

1239. Supposons que w parte de l’origine avec une certaine détermination, qu'il se dirige vers un point critique c suivant un chemin rectiligne, qu’arrivé à une distance r de c, moindre que celle de c au point critique le plus voisin et que nous pourrons supposer infiniment petite, il quitte la droite O cet décrive autour de c une circonférence entière qui le ramène sur la droite, et enfin qu’il revienne en O suivant la même droite. Le chemin ainsi parcouru sera dit un contour élémentaire, et nous désignerons par (c) le contour élémentaire relatif au point critique c.

Si c, comme dans l'exemple actuel, est un point de ramification, w changera de détermination en parcourant le cercle qui entoure c, et, par suite, reviendra en O avec une valeur différente de celle qu'il avait au départ.

1240. Supposons maintenant un chemin quelconque, conduisant d’un point initial zç à un point final z et entourant les divers

!.,.. d’une fonction donnée # chacun un

points critiques ©, €’, € nombre quelconque de fois, et concevons, comme précédemment, un fil flexible appliqué sur ce chemin et des obstacles placés aux divers points critiques. Si l’on tend Île fil, il commencera par se serrer autour des obstacles, en les entourant chacun un certain nombre de fois et en laissant entre eux des portions rectilignes. Détendons maintenant chacune de ces dernières, de manière à la remplacer par deux cordons rectilignes allant du point initial 34 à chacun des deux obstacles. Nous aurons une transformation analogue à celle que représente la fig. 96. Les fils tendus entre les points critiques et le point initial z, se changeront, à la limite, en contours élémentaires, dont la partie circulaire sera parcourue un nombre quelconque de fois, positif ou négatif.

De cette manière, on pourra remplacer tout chemin de nature quelconque, allant de z, en z, par un système de contours élémen-

DES FONCTIONS MULTIFORMES. O1 aires relatifs aux divers points critiques, lesquels devront être parcourus dans un ordre déterminé et chacun dans un certain sens et un certain nombre de fois, ce système étant suivi d’un chemin

Fig. 06.

rectiligne allant de z, à z, en évitant, s’il y a lieu, les points critiques, comme nous l'avons vu plus haut.

On voit donc qu'une fonction multiforme w, partant d’un point donné z, avec une détermination désignée, peut arriver en un autre point donné z avec telle ou telle détermination, suivant la nature du chemin parcouru par la variable z, et que, dans tous les cas, on pourra remplacer un chemin quelconque par un chemin composé d’une certaine combinaison des contours élémentaires relatifs aux divers points critiques, ces contours étant parcourus chacun un nombre de fois déterminé et dans un ordre convenable : pus d’un chemin rectiligne allant du point initial au point final, en évitant, dans un sens convenable, les points critiques qui pourraient se Lrouver sur son parcours.

1241. I. Prenons pour second exemple la fonction

(1) sw = \/z — €,

Nous aurions à répéter sur cette fonction une grande partie de ce

que nous avons dit à propos de la fonction Vz—c?, dont la fonction (1) est un des facteurs. Ici c est le seul point de ramification situé à distance finie; mais il existe encore un second point de ramification, le point de l'infini, z =.

En effet, si nous posons, en introduisant le rayon réciproque

[1114], 3 — - ; il viendra ; LA

En faisant

il viendra

expression qui change de signe si l’on fait le tour du point z'=o. Donc z'— 0 où z —% est un point de ramification de la fonction

I / / V: et C OU NO CE

Si l’on appliquait la même transformation à la fonction

VI Vz — A qui deviendrait

w == V 2e LE VE CEE

5 I les points z2 — MR

élant tous les deux en dehors du cercle infiniment pelit tracé autour de z'= 0, la fonction w ne changerait pas de détermination en faisant le tour de ce cercle. Donc ici z — n’est pas un point de ramification.

On pourrait dire que ce point z'— o est le point où coïncident

. : 3 : 1 les points de ramification des deux facteurs =, ———— de w, et

pi !

Ne = (V# que ces deux points de ramification se neutralisent mutuellement, parce qu’on ne peut faire le tour de l’un sans faire en même temps le tour de l’autre, et que les deux changements de signe simultanés de la fonction w se compensent.

Du reste, pour la fonction (1) w = Vz—-c, la présence du se-

cond point de ramification 3 — «© n'’influe en rien sur la marche de la fonction, puisque toute révolution autour de l’un des deux points o et « est en même temps une révolution autour de l’autre.

AD42AIII0 En appliquant les mêmes raisonnements à la fonction

Di CN EME on verra de la même manière que z = « est ou n’est pas un point de ramification de w, suivant que 7 est impair ou pair, de sorte que, pour 7 = 2y —1 comme pour 2— 2, le nombre total des points de ramification sera toujours 2».

Ainsi les deux fonctions

Vataiztazr+u,r,

Va + 413 + do + A + 4,2

ont l’une et l’autre quatre points de ramification.

Dans le cas de n = 2y— 1, le contour qui enveloppe le seul point z = sur la sphère peut être considéré comme enveloppant, de l’autre côté, tous les 2Y—7+1 autres points de ramification.

1943. IV. Considérons encore la fonction à trois déterminations

3 / ; LENRET TENTE En posant ACL 1 CNE Ca — r,elPe, BC = rs els,

w prendra la forme LE no) LE en LE 3 CRE a HIT rar e . ,

On voit qu’une révolution autour du point c; augmente l’argu-

2T 1 à (13 3 ment de w de 7 deux révolutions l’augmentent de ss > EL trois

révolutions l’augmentent de 27%, ce qui ramène w à sa première 2ri

valeur. Ainsi, en désignant par & — e * une des deux racines cubiques complexes de l’unité, si l’on fait n, révolutions autour de Ci, 22 autour de ©, ñn;, autour de c3, # se trouvera multiplié par

antritrs, c'est-à-dire par un des trois facteurs 1, e vant que l'on aura

+ lo 13=0, 1, 2 {mod.3).

1244. V. Si l’on avait pris 3/ Mr TU UT EG = Y(2 — C)(z— cs

en faisant z = -,> il viendrait

A RE ES Fe z!) ur \1 C7 ) (1 > 2 RSR) Ph 19 2 5) ds

Ou, En posant ze 7e,

2e VU Vire sheet,

On verrait alors, comme précédemment, que, si l’on fait le tour

(dans le sens rétrograde) du point O’ du plan antipode [1114}, 4TI

w se trouvera multiplié par e ? , de sorte que z/= o ou z = % est

encore un point de ramification.

1245. VI. En général, si l’on considère la fonction

Met END VO Z ,

m ’ e. e L °."m L2 2 — étant fractionnaire, O sera un point de ramification, puisque, en /

posant z — j'eP, on aura

u = VL n Eu CAL

' Ma GE ie : à k ; et, si la fraction — est irréductible, w sera une foncuon à z détL Lerminations.

Si l’on pose maintenant z = - et z'= 7’eiP”, alors

nt .mpl

w—7r %le n :

d'où l’on voit que w change encore de détermination lorsque 3 fait

lé tour de s=—"0. Donc 2 0/0u,2—/est encore uns point de ramification.

On peut remarquer ici, comme au n° 11, que, si l’on considère la représentation sur la sphère, chaque révolution directe autour de z — 0 est en même temps une révolution rétrograde autour de z!—0; de sorte que, lorsqu'on fait le tour de lPorigine, on peut considérer ce chemin comme faisant le tour, dans le sens opposé,

du point à l'infini.

1A0MVIIeS:#l'0n 2

4 : (ne Et (se \ (7 dE Ci) WE Cyn + D nm; 7 PA — Fe Vic si Tr — 0,2 ke mt, » . : / : A ctant flacliONNaire, Z°=— 0.OÙ) 3 —— 1 sera un point de ramifi-

cation, et si l’on décrit en sens direct un chemin renfermant dans son intérieur tous les points de ramification €,,...,Cm, On pourra considérer ce chemin comme entourant le seul point æ , dans le sens rétrograde par rapport à ce point.

1247. VIII. Lorsque, dans l'exemple précédent, À des points de ramification c;, ..., ex Viennent à coïncider, alors la valeur de w peut se mettre sous la forme

et l’on voit qu'une révolution autour de c, équivaut à £ révolutions autour d’un point de ramificalion simple ou à une révolution suivant une courbe embrassant dans son intérieur Æ points de ramification différents.

S1 : esL entier, c, cessera d’être un point de ramification.

On voit maintenant sans peine comment on discuterait le cas d’une fonction formée par l’addition de plusieurs fonctions multiformes, ou plus généralement par la combinaison de plusieurs opérations algébriques multiformes quelconques.

96 LIVRE VI. — CHAP. 111, & ur.