II

1248. Étudions maintenant l’autre classe de fonctions multiformes dont nous avons parlé au n° 1234, celle des fonctions provenant de l'intégration d'une fonction algébrique uniforme où multuforme présentant des infinis.

Soit f(z) une fonction de la variable z, et supposons-la d’abord uniforme et continue à l’intérieur de l'aire 4, sauf en certains points C1, C»,... de cette aire, où elle présente des infinis proprement dits.

Supposons que l’on fasse suivre à la variable z une ligne continue À, tracée d’une manière quelconque entre deux points donnés zo et z, dans le plan des z ou sur la sphère de référence: nous appellerons cette ligne le chemin d'intégration. Si l’on fait la somme des produits de chaque élément dz de ce chemin par la valeur correspondante f{z) de la fonction, la limite de cette somme sera l'intégrale de la fonction, correspondante au chemin d’intégration à.

Pour que l’intégration soit toujours possible, 1l faut que le chemin d'intégration 3 ne passe par aucun point dans le voisinage duquel à une variation infiniment petite dz ne corresponde pas une variation infiniment pelle de l'intégrale elle-même, comme cela pourrait avoir lieu si la fonction f(z) devenait infinie en ce point. Nous supposerons toujours que, si le chemin d’intégration contenait un tel point, on l’éviterait en faisant un détour infiniment petit, sauf à discuter l'influence que le sens dans lequel on a fait ce détour peut avoir sur le résultat.

Lorsque le chemin 3 se réduit à une ligne droite, l'intégrale est dite l'intégrale rectiligne de la fonction f(z)dz, prise entre les limites z, et z, et nous la représenterons simplement par la notation

[ Valide,

1249. Si entre la droite z, z et le chemin 3 il ne se trouve aucun point critique de la fonction f(z), nous avons vu [1125] que les

intégrales prises le long des deux chemins ont la même valeur. Donc l'intégrale prise le long de 3 pourra, dans ce cas, être repré-

sentée aussi par la notation Î fiz)dz. Z,

Si, au contraire, l’aire comprise entre 3 et la droite z, z renferme un ou plusieurs infinis c,,C, ... de f(z), nous avons vu que la différence entre l'intégrale prise suivant 3 et l'intégrale rectiligne

est la somme des intégrales JL ’ JE > -.. prises autour de ces infic <.

nis. Cette différence restera constante, tant que z variera de manière que l’aire comprise entre les deux chemins contienne toujours les mêmes infinis, et que les deux chemins d'intégration entourent chaque infini le même nombre de fois.

Pour plus de clarté, nous commencerons toujours, ainsi que nous l’avons fait plus haut, par remplacer le chemin 3 par le chemin rectiligne, précédé des contours élémentaires relatifs aux divers points critiques renfermés entre 3 et le chemin rectiligne, en tenant compte du nombre de fois que chaque contour élémentaire est décrit, et du sens dans lequel il a été décrit chaque fois.

S1 le chemin rectiligne passait lui-même par un des points critiques, on éviterait ce point au moyen d’un demi-cercle infiniment petit décrit autour de ce point comme centre et tourné dans un sens convenable, la valeur de l'intégrale rectiligne variant généralement avec le sens que l’on a choisi pour ce demi-cercle.

1250. On voit que l’intégration d’une fonction uniforme f (3), qui a des infinis, engendre une fonction multiforme, susceptible de prendre en chaque point donné du plan une infinité de valeurs, dont les différences dépendent des chemins parcourus par la variable d'intégration et sont exprimées par des sommes de multiples, positifs ou négatifs, des intégrales prises autour de ces divers infinis.

Chacune de ces dernières intégrales s'appelle une période de

l'intégrale ff(z)dz. Ainsi, si l’on représente par | f (z)dz Z9 l'intégrale rectiligne et par [- [> ++. les périodes correspon- C, Ÿ Ca

dantes aux infinis c,, C, ... compris entre le chemin d'intégration 3 et le chemin rectiligne, la valeur générale de l’intégrale f f(z)dz, H. — Cours de Calcul infin., VV. 4,

98 LIVRE VI. — CHAPAI1ISUS Et:

pour un chemin quelconque 3 allant de z, en z, sera

Z na, Pme f f\z)dz, CAR 24 ze

Ni, 9, ... étant des entiers positifs, nuls ou négatifs.

1251. Lorsque, après avoir fait le tour d’un infini c, la variable z

revient à sa première position, l'intégrale w aura crû de f et, par e

suite, elle aura changé de détermination si fuest pas nul.

S1, après avoir parcouru un chemin z, c et avoir fait le tour de c sur le cercle infiniment petit, z revient en z, suivant le même chemin, w aura changé de détermination et décrira, par conséquent, sur son plan ou sa sphère de représentation, une courbe différente de la première. Quand le point correspondant à c est un infini de u, les deux branches de courbe décrites sur la sphère des u partiront du pôle inférieur. Dans tous les cas, la courbe décrite par u se ramifie à partir du point u correspondant à c; donc ce point c est généralement un point de ramification de la fonction u.

1252. Des intégrales prises le long d’un contour élémentaire. — Soit c un point critique de la fonction f(z), et considérons le contour élémentaire formé d’un cercle infiniment petit tracé autour de c et d’une droite joignant le point initial z, de l'intégrale ff(z)dz à un point de ce cercle. On pourra, comme dans le n° 1240, considérer ce contour élémentaire comme la limite d’un chemin composé des deux parallèles infiniment voisines z$AÀ et

Czs, et de l’arc ABC (fig. 97), infiniment peu différent de la cir-

conférence entière. L'intégrale prise le long du contour élémentaire sera la limite de la somme des trois intégrales

Jo 4) + f (ABC) + J(G2).

Supposons d’abord que le point critique c ne soit pas un point de ramification. Alors, en revenant, après avoir fait le tour du cercle, à une position C infiniment voisine de À, la fonction f(z) reprendra, à la limite, la même valeur qu’en À, et les éléments de l'intégrale le long du chemin Cz, seront égaux et de signe contraire à ceux de l’intégrale le long de z, À. Donc les deux intégrales S(z0 A) et f(Cz,) se détruiront, et l'intégrale prise le long du contour élémentaire se réduira à la seule intégrale f(ABCA), c’està-dire à l’intégrale il prise autour de c, comptée positivement ou

fé négativement selon que le cercle sera parcouru dans le sens direct

ou dans le sens rétrograde.

1253. Supposons maintenant que f (z) soit une fonction multiforme, ayant un point de ramification en c. L'intégrale prise le long du côntour élémentaire, parcouru dans le sens direct, sera, comme précédemment, la limite de la somme