J (0 À) + J\ABC) + J (C
Or, en passant de À au point infiniment voisin C, la fonction f(z) aura changé de détermination, et, si elle est partie de À avec la valeur f,(z), elle aura en C une autre valeur /,(z). On aura donc
fazf filz)ds, fleai=- f fi(a)ds.
A Zy
Donc la somme f'(z, À) + f(Cz,) aura pour limite
ce qui ne s’annulera pas, comme dans le cas précédent. Sil'on a f(z) =—f,(z), cette somme sera égale à
C C à |. (sde [ fa(z)dz.
Quant à l'intégrale f (ABC), elle peut, suivant la nature de la fonction f, être ou nulle ou différente de zéro. Si l’on avait parcouru le contour élémentaire dansle sens opposé,
se
en partant de z, avec la même détermination f, (z), la partie rec-
ulhigne de l'intégrale serait toujours [ LAz) —fi(z)]dz;
mais l’intégrale circulaire J(ABC) serait remplacée par l'intégrale
de signe contraire :
f(CBA)= — fIABC).
Si l'intégrale circulaire est nulle, l'intégrale prise le long du contour élémentaire sera indépendante du sens dans lequel ce contour sera parcouru.
1254. Soit un point de ramification c, et soit T l'intégrale prise le long du contour élémentaire (c) correspondant à ce point. Sup-
posons l'intégrale circulaire / nulle, et la fonction f(z) suscep-
tible des deux valeurs égales et opposées f,(z)et f2(z) =—f;(z).
Après que l’on aura parcouru une première fois le contour élémentaire, la fonction f(z), partie de z, avec la valeur f,(z), y reviendra avec la valeur — f,{z). Si l’on parcourt maintenant de nouveau le contour élémentaire, l'intégrale, prise en partant de z avec la valeur — f,(z), aura tous ses éléments égaux et de signe contraire à ceux de l’intégrale précédente; elle aura donc pour valeur —T, et par suite, en l’ajoutant à la première, on aura zéro pour l'intégrale correspondante à deux parcours consécutifs du contour élémentaire.
On verra de même que, si l’on fait rn intégrations consécutives
4 Lx
le long du contour {c), le résultat sera égal à
1 nu Li E ’
D) c'est-à-dire à lou à zéro, suivant que m sera impair ou pair. 1255. Soit c’ un second point de ramification de la même fonction biforme, et supposons-le tel que fc’) (!) soit égale à — fc) lorsque les deux intégrales sont prises en partant de la même dé-
(') En désignant par f(c') l'intégrale prise le long du contour élémentaire ( c’).
termination de f(z). Après que l’on aura intégré le long de (c), f(z) aura changé de signe, et f(c/), calculée en partant de la détermination — f,(z), aura pour valeur + F. Donc f{c), suivie de J{c');, donnera pour valeur 2 [”. On conclut de là que, si l’on fait une série de n intégrations consécutives en parcourant tour à tour d’abord le contour (c), puis le contour (c’), on aura pour résultat + n.
Si, au lieu de commencer cette série d’intégrations par le contour {(c), on avait commencé par {c’), le résultat aurait été — nT.
Exemple. — Soit l'intégrale
fi dz Ve? NT
La fonction sous le signe fa deux points de ramification, + c et — c. Supposons que le radical parte de z— 0 avec la valeur + c.
S1 l’on intègre le long du cercle infinitésimal qui entoure le point c, en posant
C2 re). dou d2—— reP.idp, l'intégrale sera
OITE.
VreéPiac—reir) 4 et sa valeur s’annulera évidemment avec r. L'intégrale circulaire étant nulle, on pourra donc appliquer le résultat précédent. Donc, en intégrant z fois de suite le long des contours respectifs (+ c), (—c), (+c), ...,([—1}""'c), on aura pour intégrale totale
(és <ur=on | = JEUNE
Au contraire, si l’on avait pris les contours élémentaires dans l’ordre
CS CR En
la valeur de l'intégrale totale aurait été — nT. On voit, dans ce cas, que, sans changer l'intégrale rectiligne
[Üz0 z: ), on pourra augmenter ou diminuer l’intégrale curviligne
U f(z)dz d’un multiple quelconque de F.
Lorsque deux points de ramification jouissent des propriétés des deux points c, c/ dont nous venons de parler, nous leur donnons le nom de points de ramification complémentaires.
