EXEMPLES D’'INTÉGRALES PÉRIODIQUES

donc [1129]

dz LS I DO : ; 227 (z—0c) RE ——2im— = Tir.

I— 23 az z

Donc les deux périodes de l'intégrale sont égales au signe près; par suite, la valeur générale de l'intégrale prise entre les limites cel zisera

| : Drabaimi nl

l’entier 7 étant égal au nombre de fois que le chemin d'intégration a entouré {dans le sens direct) le point — 1, moins le nombre de fois qu'il a entouré le point + 1, les tours faits dans le sens rétrograde devant être comptés négativement.

: 28% he: FA On verrait de même que la valeur générale de l'intégrale MT I Z est

Cette intégrale et la précédente sont des cas particuliers de l’in-

tégrale 4 3 dz rs to cet AR 0 I Dre e 4

qui a les deux points critiques Ci — E re Ca feat CR

En posant 1 — e“z — rer, l'intégrale prise autour de c;,

1e — e*. ire? dp UE f É wo . : = RE RO oi rRLD 7 o mreP|2—"re?) 2 Rire

aura pour limite correspondante à r = 0

— irmeT!®,

104 LIVRE VI. — CHAP. III, $ III. et, de même, l'intégrale prise le long de l’autre point critique sera tirer.

Ces deux périodes étant égales et de signes contraires, on en

conclut que la valeur générale de l'intégrale sera l’intégrale rectiligne, plus un multiple quelconque de ire".

: ; T ; En faisant tour à tour & = 0 et &« — -, on retrouvera les résul-

tats relatifs aux deux intégrales précédentes.

1258. III. Soit l'intégrale

mz +7 RS æ 2? + az + 0

que l’on peut mettre sous la forme

mz—+n " Fan) ob az,

Les intégrales prises autour des deux points critiques c;, c, auront

pour valeurs respectives

Me +n . NET IC Ur hr, = ——— 2ir.

c, C1 —— Co Ce Cora

L'intégrale a donc deux périodes différentes tant que, les deux quantités c,, © étant différentes, m2 ne sera pas nul. On a donc ici un exemplé d’une intégrale à double période dont la valeur générale est égale à l’intégrale rectiligne augmentée de multiples quel-

conques ea 2 [ des deux périodes.

ci c

Si m—o, alors les deux périodes, étant égales au signe près, n'en feront plus qu’une seule, comme dans le cas précédent.

1959. IV. Considérons maintenant l'intégrale d’une fonction

Je dz [e) Vi — 7?

Les points de ramification z — +1 et z——1 sont en même

multiforme

temps des infinis de la différentielle.