CRE ER À AUS

c représentant =E 1, l'intégrale prise autour de c aura pour valeur

27 FU DIT DL tre? dp DANCE e? dp JL == : ÿ e 1] LE APRE A o VY—re?{oc+ret) o V2c+ re’

et, pour infiniment petit, celte expression a évidemment pour

limite zéro. Donc 1c1 les deux intégrales circulaires sont nulles.

Si maintenant on suppose que le radical parte du point z —0 avec la détermination +71, l’intégrale rectiligne prise de z = 0 à 3 —1—7 aura, pour 7 infiniment petit, une certaine limite, que nous désignerons provisoirement par x.

Après que z aura fait le tour du point +1, V1 — z? aura changé de détermination, et, d’après ce que nous avons vu au n° 1955, l'intégrale prise de +- 1 à o aura encore la valeur z, de sorte que l'intégrale relative au contour élémentaire (+ 1) aura pour valeur

+ 2%, lorsqu'on suppose à Vi — 3? ]a valeur initiale + 1.

On verrait pareillement que, dans la même hypothèse, l'intégrale relative au contour élémentaire (— 1) aura pour valeur 27.

On conclut de là, comme au n° 1255, que, si l’on parcourt alternativement les deux contours élémentaires, en prenant +1 pour valeur initiale de 4/1 z?, la somme des intégrales élémentaires, après 2 parcours, sera E 27%, suivant que l’on aura commencé par le contour (— 1) ou par le contour (— 71).

S1 l’on parcourt le même contour, (+1) par exemple, m fois consécutives, le résultat sera, d’après ce que nous avons vu,

I MESA mt CRRÉSIOEN A

c’est-à-dire 2x ou zéro, suivant que mn sera impair ou pair. Après ces m parcours, ÿ1—- 2? se trouvera multiplié par (— 1)”; si l’on fait maintenant m, fois le tour de (— 1), on ajoutera à la valeur

(— me 2 (—r)ix

Ce qui donnera en totalité

précédente

SR de 2(— hi Le ven DDR

Si l’on fait ensuite mm, fois le tour de (+1), le radical partant de o avec la valeur (—1)#*#,, on ajoutera à la valeur précédente (—i)trilz —{— 1)7:7], ce qui donnera en totalité

+ [— Ex DR 2(— D'éatax ax (— ro

Et ainsi de suite.

On voit que cette expression représentera toujours un multiple pair de +, et que, de plus, on pourra toujours disposer du nombre des changements alternatifs de contours et de la parité de chacun des nombres mn, m,,..., de manière que la partie de l'intégrale ajoutée à l'intégrale rectiligne soit égale à un multiple quelconque de 24.

1260. Il est facile de déterminer cette intégrale 2x, en nous appuyant uniquement sur le théorème de Cauchy [1124]. En effet, cette intégrale est égale à l'intégrale prise le long d’un contour fermé quelconque, renfermant dans son intérieur le seul point critique —- 1. Prenons pour ce contour celui d’un demi-cercle de centre O, de rayon r infiniment grand, et ayant son diamètre dirigé suivant l’axe des y. L'intégrale prise le long du demi-diamètre à partir de O, suivant le sens direct, sera, en posant z—i#y,

h? désignant une valeur positive quelconque. L'intégrale prise le long de la demi-circonférence sera, en posant z = r'e'r,

Fu TT te he re’? idp AL d de RER ke

# Vi Cet k rai 72 e—2tp

expression qui, pour 7° infiniment grand, a pour valeur re, e étant infiniment petit. La troisième partie de l'intégrale sera

0 20 dz dy 1 | sw [ = a = Tu?

ir Ai — 7 Tr Vi+y

/2 ayant la même valeur que ci-dessus. En égalant la somme de ces

trois intégrales à l'intégrale positive 2x, prise le long du contour

INTÉGRALE CIRCULAIRE. 107 (+1), on aura 22 —=— ik Er + 0 Ki,

d’où, en égalant séparément les parties réelles et les parties 1maginaires, et négligeant l’infiniment petit d, on déterminera les signes ambigus, et l’on aura

NME Pr re Th

1261. Ainsi l'intégrale prise le long d’un des deux contours élémentaires est égale à 7. Si, avant de former l'intégrale rec-

Pau dz Us es) O0 Vi— 2?

on parcourt un seul contour élémentaire, et que l’on intègre ensuite

uligne

rectilinéairement de o à z, le radical ayant changé de détermination, l'intégrale rectiligne changera de signe, et l’on obtiendra

pour résultat Re;

Si, au lieu d’un seul contour, on en parcourt deux, soit deux fois le même, soit deux contours différents, le radical reprenant son premier signe, on obtiendra pour l'intégrale totale

Er Er +u, c'est-à-dire une des trois valeurs US VELO TUE RATE.

En continuant ce raisonnement, on verra qu’à une limite supé-

rieure donnée z correspondent des valeurs de l'intégrale des deux

formes HuHomr,, —u+(2m+i)r,

ou, ce qui revient au même, de la forme nr + |(— 1)".

1262. V. Étudions enfin l'intégrale elliptique de première espèce

nn R(=)

Ur==

où l’on a posé

RU) = Nr ire 72

k? étant un nombre positif et moindre que l’unité. . . nr ‘ : I be Les infinis de la différentielle, + 1 et + 7° Sont en même temps

des points de ramification, comme dans l’exemple précédent. Comme les points = r'et —j1setrouvent respectivement sur les droites qui joignent l’origine zéro aux deux autres points critiques

I pl LA ; A de + — et—-;,1l faudra, dans les contours élémentaires relatifs à

ñ À ces derniers, éviter les premiers par un détour infiniment petit, que nous supposerons fait suivant deux demi-circonférences situées la première au-dessus, la seconde au-dessous de l’axe des x, de

manière à laisser l’un et l’autre des points Æ r sur sa droite, en

< 1 allant de o à + RÉ

Cela posé, imaginons que R(z) parte de zéro avec la valeur +1 el parcoure le contour élémentaire (+1). L'intégrale prise de

ZÉTO à I — 7,

croît continuellement pour 7° décroissant. Le premuer facteur est

. . I Dao T toujours compris entre 1 et -——— ; le second a pour limite =. I — 2.

Nr AR : T Le Donc l'intégrale a une limite finie, plus grande que -: Nous dési-

gnerons cette limite par

KR PO ide à

(e) V{r — 2 )f1 == LA)

Faisons maintenant Lip = 1—z-—rer, d'où R(z)—r?c? YZ,

Z désignant un polynôme du troisième degré qui n’est pas nul dans le voisinage de z—+ 1. Il viendra