INTÉGRALE ELLIPTIQUE

et, par suite, l'intégrale circulaire

tendra, pour 7 infiniment petit, vers la limite zéro.

Après avoir fait le tour du point +1,p ayant crû de 27 et Z G CRE Lip re ayant repris sa première valeur, le facteur e? aura changé de

signe, et, par suite, R(z) aura changé de détermination. Donc

Ni he E ONF * ; PEN l'intégrale R(z) sera égale en grandeur et en signe à l'intégrale Z

NUE # Lie $ précédente —— = K, et, par suite, R{z) reviendra en O avec , AG)

la valeur — 1, et l'intégrale prise le long du contour élémentaire (+ 1) sera égale à + 2K [1255].

On verrait de même que, si l’on fait le tour du point —r, R(z) partant toujours de O avec la valeur + 1, l'intégrale reviendra en O avec la valeur — 2K.

S1 l’on désigne par w la valeur de l'intégrale rectiligne

où R{z) part de O avec la valeur + r, et que, au lieu de commencer par décrire le chemin rectiligne Oz, on décrive d’abord le

Z contour élémentaire {+ 1), l'intégrale | se composera de l’inté- (®)

grale f(+ 1) =2K, plus l'intégrale rectiligne, où R(z) partira cette fois de O avec la valeur — 1, et qui aura, par suite, pour valeur — u. Donc l'intégrale totale sera égale à 2 K — u.

Si l’on parcourt deux fois de suite le contour (+- 1), la seconde intégrale prise le long de ce contour détruira la première, et l’in-

tégrale / redeviendra égale à u.

Mais si l’on parcourt d’abord une fois le contour (+ 1), puis une fois le contour (— 1), la somme des deux intégrales correspondantes sera + 4K, et, R{z) étant revenu en O avec la valeur +1,

I10 CNRC HERBE $ III.

l'intégrale | aura pour valeur 4 K + u. Et ainsi de suite, comme (e)

; , , dz pour l'intégrale de l’exemple précédent il ere l

5 IN Ter:

1963. Considérons maintenant le contour élémentaire [+ )

Nous avons dit que la partie rectiligne de ce contour devait faire un détour pour éviter le point + 1. Apprécions l'influence de ce détour.

Le point z; arrivé en 1—r, s’écarte alors de la droite Or et prend une valeur 1 + reiP, p devant varier de r ào, en contour-

nant +1 dans le sens rétrograde. D’après cela, le facteur 1 —z dz

de R{z) prendra la forme — reiP, et l'intégrale JE prise le

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